Bài 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc

Bài 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc - Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Biến ngẫu nhiên rời rạc là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất và thống kê. Nó mô tả một biến mà giá trị của nó chỉ có thể nhận một số hữu hạn các giá trị hoặc một số vô hạn đếm được. Bài viết này sẽ đi sâu vào định nghĩa, tính chất và các ứng dụng của biến ngẫu nhiên rời rạc trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo.

1. Định nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc

Một biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete random variable) là một biến mà tập hợp các giá trị có thể nhận của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được. Ví dụ, số lần tung đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt ngửa, số lượng sản phẩm lỗi trong một lô hàng, hoặc số học sinh đạt điểm giỏi trong một lớp học đều là các biến ngẫu nhiên rời rạc.

2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Phân phối xác suất (probability distribution) của một biến ngẫu nhiên rời rạc mô tả xác suất mà biến đó nhận mỗi giá trị có thể. Phân phối xác suất thường được biểu diễn dưới dạng bảng hoặc công thức. Tổng của tất cả các xác suất phải bằng 1.

Ví dụ, xét biến ngẫu nhiên X biểu thị số lần xuất hiện mặt ngửa khi tung một đồng xu hai lần. Tập hợp các giá trị có thể nhận của X là {0, 1, 2}. Giả sử đồng xu là công bằng, ta có phân phối xác suất như sau:

• P(X = 0) = 1/4
• P(X = 1) = 1/2
• P(X = 2) = 1/4

3. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Có một số số đặc trưng quan trọng được sử dụng để mô tả biến ngẫu nhiên rời rạc:

• Giá trị kỳ vọng (Expected Value): Giá trị kỳ vọng, ký hiệu là E(X), là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên. Nó được tính bằng công thức: E(X) = Σ [x * P(X = x)], trong đó tổng được lấy trên tất cả các giá trị có thể của x.
• Phương sai (Variance): Phương sai, ký hiệu là Var(X), đo lường mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị kỳ vọng. Nó được tính bằng công thức: Var(X) = E[(X - E(X))^2] = Σ [(x - E(X))^2 * P(X = x)].
• Độ lệch chuẩn (Standard Deviation): Độ lệch chuẩn, ký hiệu là σ(X), là căn bậc hai của phương sai. Nó cũng đo lường mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên.

4. Ví dụ minh họa

Xét một trò chơi tung xúc xắc 6 mặt. Biến ngẫu nhiên X biểu thị số chấm xuất hiện trên mặt xúc xắc. Tập hợp các giá trị có thể nhận của X là {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Giả sử xúc xắc là công bằng, ta có phân phối xác suất như sau:

P(X = i) = 1/6, với i = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Giá trị kỳ vọng của X là:

E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5

Phương sai của X là:

Var(X) = Σ [(i - 3.5)^2 * 1/6] = 2.9167

Độ lệch chuẩn của X là:

σ(X) = √2.9167 ≈ 1.7078

5. Ứng dụng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên rời rạc có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Thống kê: Phân tích dữ liệu rời rạc, ước lượng các tham số của phân phối xác suất.
• Bảo hiểm: Tính toán rủi ro và định giá bảo hiểm.
• Tài chính: Mô hình hóa lợi nhuận và rủi ro của các khoản đầu tư.
• Kiểm soát chất lượng: Đánh giá tỷ lệ sản phẩm lỗi.

Hi vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về biến ngẫu nhiên rời rạc. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức này và áp dụng vào giải các bài toán thực tế.