THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập 1 trang 20 thuộc Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và nắm vững kiến thức liên quan.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và cập nhật mới nhất để hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các bạn.
Người ta muốn xây một đường cống thoát nước có mặt cắt ngang là hình tạo bởi một nửa hình tròn ghép với một hình chữ nhật (Hình 6). Biết rằng mặt cắt ngang có diện tích 2 m2. Các kích thước \(x,y\) (đơn vị: m) bằng bao nhiêu để chu vi của mặt cắt ngang là nhỏ nhất? Tính chu vi nhỏ nhất đó.
Đề bài
Người ta muốn xây một đường cống thoát nước có mặt cắt ngang là hình tạo bởi một nửa hình tròn ghép với một hình chữ nhật (Hình 6). Biết rằng mặt cắt ngang có diện tích 2 m2. Các kích thước \(x,y\) (đơn vị: m) bằng bao nhiêu để chu vi của mặt cắt ngang là nhỏ nhất? Tính chu vi nhỏ nhất đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
• Tìm mối quan hệ giữa \(x,y\), biểu thị chu vi thông qua các đại lượng đã biết và ẩn.
• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng bằng đạo hàm:
‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.
‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.
Lời giải chi tiết
Bán kính nửa hình tròn là \(\frac{x}{2}\).
Diện tích nửa hình tròn là \(\frac{1}{2}\pi .{\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = \frac{{\pi {x^2}}}{8}\).
Diện tích hình chữ nhật là \(xy\).
Diện tích mặt cắt ngang là: \(xy + \frac{{\pi {x^2}}}{8}\).
Do diện tích mặt cắt ngang bằng 2m2 nên ta có: \(xy + \frac{{\pi {x^2}}}{8} = 2 \Rightarrow y = \frac{1}{x}\left( {2 - \frac{{\pi {x^2}}}{8}} \right)\).
Do \(x,y > 0\) nên ta có: \(\frac{1}{x}\left( {2 - \frac{{\pi {x^2}}}{8}} \right) > 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{{\pi {x^2}}}{8} > 0 \Leftrightarrow \frac{{\pi {x^2}}}{8} < 2 \Leftrightarrow {x^2} < \frac{{16}}{\pi } \Leftrightarrow x < \frac{4}{{\sqrt \pi }}\)
Chu vi của mặt cắt ngang là:
\(P = \frac{1}{2}.2\pi .\frac{x}{2} + x + 2y = \frac{{\pi x}}{2} + x + 2.\frac{1}{x}\left( {2 - \frac{{\pi {x^2}}}{8}} \right) = \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right)x + \frac{4}{x}\) với \(0 < x < \frac{4}{{\sqrt \pi }}\).
Xét hàm số \(P\left( x \right) = \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right)x + \frac{4}{x}\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{4}{{\sqrt \pi }}} \right)\).
Ta có: \(P'\left( x \right) = \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{4}{{{x^2}}}\)
\(P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{4}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{16}}{{\pi + 4}} \Leftrightarrow x = \frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}\) hoặc \(x = - \frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}\) (loại).
Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( {0;\frac{4}{{\sqrt \pi }}} \right)\):
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;\frac{4}{{\sqrt \pi }}} \right)} P\left( x \right) = P\left( {\frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}} \right) \approx 5,34\).
Vậy chu vi nhỏ nhất của mặt cắt ngang của đường cống là khoảng 5,34 m khi \(x = \frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }} \approx 1,50\left( m \right)\) và \(y = \frac{2}{{\frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}}} - \frac{{\pi .\frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}}}{8} \approx 0,75\left( m \right)\).
Bài 1 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế, rèn luyện kỹ năng tính toán và tư duy logic.
Bài tập 1 thường bao gồm các dạng câu hỏi sau:
Để giải bài 1 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:
Bài toán: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x2 + 2x - 1.
Lời giải:
Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số đa thức, ta có:
f'(x) = 2x + 2
Ngoài việc tính đạo hàm trực tiếp, bài tập 1 trang 20 còn có thể yêu cầu học sinh:
Để học tốt môn Toán 12 và giải bài tập đạo hàm hiệu quả, các em có thể tham khảo các tài liệu sau:
Bài 1 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải hiệu quả mà Montoan.com.vn cung cấp, các em sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và đạt kết quả tốt nhất.
Hãy tiếp tục luyện tập và khám phá thêm nhiều bài tập khác trên Montoan.com.vn để nâng cao kiến thức và kỹ năng giải Toán của mình!
