Bài 29. Công thức cộng xác suất

Trong chương trình Toán 11, phần xác suất đóng vai trò quan trọng trong việc ứng dụng Toán học vào thực tiễn. Bài 29, với chủ đề "Công thức cộng xác suất", là một bước tiến quan trọng trong việc hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất của các biến cố.

1. Khái niệm biến cố độc lập và biến cố xung khắc

Trước khi đi sâu vào công thức cộng xác suất, chúng ta cần nắm vững khái niệm về biến cố độc lập và biến cố xung khắc. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại. Công thức tính xác suất của biến cố A và B độc lập là: P(A và B) = P(A) * P(B).

Ngược lại, hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không thể xảy ra đồng thời. Nói cách khác, nếu A xảy ra thì B không thể xảy ra và ngược lại. Công thức tính xác suất của biến cố A hoặc B xung khắc là: P(A hoặc B) = P(A) + P(B).

2. Công thức cộng xác suất

Công thức cộng xác suất là một công cụ mạnh mẽ để tính xác suất của một biến cố phức tạp, được tạo thành từ nhiều biến cố đơn giản hơn. Công thức này có hai trường hợp:

Trường hợp 1: Hai biến cố A và B xung khắc

Nếu A và B là hai biến cố xung khắc, thì xác suất của biến cố A hoặc B xảy ra được tính bằng tổng xác suất của hai biến cố:

P(A hoặc B) = P(A) + P(B)

Trường hợp 2: Hai biến cố A và B không xung khắc

Nếu A và B không xung khắc, thì xác suất của biến cố A hoặc B xảy ra được tính bằng tổng xác suất của hai biến cố trừ đi xác suất của biến cố A và B đồng thời xảy ra:

P(A hoặc B) = P(A) + P(B) - P(A và B)

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để lấy được ít nhất một quả bóng đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố lấy được ít nhất một quả bóng đỏ. Khi đó, biến cố đối của A là A^c: lấy được cả hai quả bóng xanh.

P(A^c) = C₃² / C₈² = 3/28

P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - 3/28 = 25/28

Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc 6 mặt một lần. Tính xác suất để mặt xuất hiện là số chẵn hoặc số chia hết cho 3.

Giải:

Gọi A là biến cố mặt xuất hiện là số chẵn: A = {2, 4, 6}. P(A) = 3/6 = 1/2

Gọi B là biến cố mặt xuất hiện là số chia hết cho 3: B = {3, 6}. P(B) = 2/6 = 1/3

A và B không xung khắc vì có số 6 vừa là số chẵn vừa chia hết cho 3. P(A và B) = 1/6

P(A hoặc B) = P(A) + P(B) - P(A và B) = 1/2 + 1/3 - 1/6 = 2/3

4. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về công thức cộng xác suất, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

Một túi đựng 4 quả bóng trắng, 3 quả bóng đen. Rút ngẫu nhiên 2 quả. Tính xác suất để được 2 quả khác màu.
Gieo hai con xúc xắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc là 7.
Một lớp có 20 học sinh, trong đó có 12 nam và 8 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để chọn được 2 nam và 1 nữ.

5. Kết luận

Bài 29. Công thức cộng xác suất là một kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững công thức và các ví dụ minh họa sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất. Hãy luyện tập thường xuyên để đạt kết quả tốt nhất!