Bài 3. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm

Trong thống kê, việc hiểu rõ mức độ phân tán của một tập dữ liệu là vô cùng quan trọng. Nó giúp chúng ta đánh giá được sự đồng nhất hay khác biệt của các giá trị trong tập dữ liệu đó. Bài 3 trong SBT Toán 10 Cánh diều tập trung vào việc tìm hiểu các số đặc trưng dùng để đo lường mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm.

1. Khái niệm về mức độ phân tán

Mức độ phân tán thể hiện sự khác biệt giữa các giá trị trong một tập dữ liệu. Một tập dữ liệu có mức độ phân tán lớn cho thấy các giá trị trong tập dữ liệu đó có xu hướng khác xa nhau, trong khi một tập dữ liệu có mức độ phân tán nhỏ cho thấy các giá trị trong tập dữ liệu đó có xu hướng gần nhau hơn.

2. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán

Có nhiều số đặc trưng khác nhau để đo lường mức độ phân tán, trong đó phổ biến nhất là:

Khoảng biến thiên (Range): Là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong tập dữ liệu. Công thức: R = X_max - X_min
Khoảng tứ phân vị (Interquartile Range - IQR): Là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba (Q₃) và tứ phân vị thứ nhất (Q₁). Công thức: IQR = Q₃ - Q₁
Phương sai (Variance): Là trung bình cộng của bình phương độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình. Công thức: σ² = Σ(x_i - μ)² / n (với σ là độ lệch chuẩn, μ là giá trị trung bình, n là số lượng giá trị trong tập dữ liệu)
Độ lệch chuẩn (Standard Deviation): Là căn bậc hai của phương sai. Công thức: σ = √σ²

3. Cách tính toán các số đặc trưng

Để tính toán các số đặc trưng này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Sắp xếp dữ liệu: Sắp xếp các giá trị trong tập dữ liệu theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần.
Tính giá trị trung bình: Tính giá trị trung bình của tập dữ liệu.
Tính khoảng biến thiên: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, sau đó tính hiệu của chúng.
Tính các tứ phân vị: Xác định Q₁, Q₂ (trung vị) và Q₃.
Tính khoảng tứ phân vị: Tính hiệu giữa Q₃ và Q₁.
Tính phương sai và độ lệch chuẩn: Tính độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình, bình phương độ lệch đó, tính trung bình cộng của các bình phương độ lệch, và cuối cùng lấy căn bậc hai của kết quả để được độ lệch chuẩn.

4. Ví dụ minh họa

Xét tập dữ liệu: 2, 4, 6, 8, 10

Giá trị trung bình: μ = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 6
Khoảng biến thiên: R = 10 - 2 = 8
Q₁ = 4, Q₂ = 6, Q₃ = 8
Khoảng tứ phân vị: IQR = 8 - 4 = 4
Phương sai: σ² = [(2-6)² + (4-6)² + (6-6)² + (8-6)² + (10-6)²] / 5 = 8
Độ lệch chuẩn: σ = √8 ≈ 2.83

5. Ứng dụng của các số đặc trưng đo mức độ phân tán

Các số đặc trưng đo mức độ phân tán có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

So sánh sự biến động của các tập dữ liệu khác nhau: Giúp chúng ta biết tập dữ liệu nào có sự biến động lớn hơn.
Phát hiện các giá trị ngoại lệ: Các giá trị ngoại lệ thường nằm xa so với các giá trị còn lại trong tập dữ liệu, do đó có thể được phát hiện thông qua việc sử dụng khoảng tứ phân vị.
Đánh giá độ tin cậy của các kết quả thống kê: Độ lệch chuẩn nhỏ cho thấy các kết quả thống kê có độ tin cậy cao hơn.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!