Bài 3. Dấu của tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 10, đặc biệt là trong phần Hàm số và đồ thị. Việc hiểu rõ về dấu của tam thức bậc hai giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán liên quan đến bất phương trình bậc hai, tìm khoảng giá trị của hàm số và nhiều ứng dụng thực tế khác.

1. Định nghĩa tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0.

2. Dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào hệ số a và biệt thức Δ = b² - 4ac.

Trường hợp 1: Δ > 0: Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ (với x₁ < x₂). Khi đó:
- f(x) cùng dấu với a khi x < x₁ hoặc x > x₂.
- f(x) trái dấu với a khi x₁ < x < x₂.
Trường hợp 2: Δ = 0: Tam thức bậc hai có nghiệm kép x₀ = -b/2a. Khi đó:
- f(x) cùng dấu với a với mọi x ≠ x₀.
- f(x) = 0 khi x = x₀.
Trường hợp 3: Δ < 0: Tam thức bậc hai không có nghiệm thực. Khi đó:
- f(x) cùng dấu với a với mọi x.

3. Ví dụ minh họa

Xét tam thức bậc hai f(x) = 2x² - 5x + 2. Ta có a = 2, b = -5, c = 2. Tính Δ = (-5)² - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 > 0. Vậy tam thức có hai nghiệm phân biệt. Tính các nghiệm:

x₁ = (-(-5) - √9) / (2*2) = (5 - 3) / 4 = 1/2

x₂ = (-(-5) + √9) / (2*2) = (5 + 3) / 4 = 2

Vì a = 2 > 0, nên:

f(x) > 0 khi x < 1/2 hoặc x > 2.
f(x) < 0 khi 1/2 < x < 2.

4. Bài tập áp dụng

Hãy xác định dấu của các tam thức bậc hai sau:

f(x) = x² - 4x + 3
f(x) = -x² + 2x - 1
f(x) = 3x² + x + 1

5. Ứng dụng của việc xét dấu tam thức bậc hai

Việc xét dấu tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học, đặc biệt là:

Giải bất phương trình bậc hai.
Tìm khoảng giá trị của hàm số bậc hai.
Xác định miền xác định của hàm số chứa căn bậc hai.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về dấu của tam thức bậc hai. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.