Lý thuyết Dấu của Tam thức bậc hai - Toán 10 Cánh diều

1. Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0,\Delta = {b^2} - 4ac.\)

+ \(\Delta < 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}\)

+ \(\Delta = 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{{ - b}}{{2a}}} \right\}\)

+ \(\Delta > 0\): f(x) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\)

Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai - SGK Toán 10 Cánh diều 1

2. Ví dụ

Xét dấu của tam thức bậc hai: \(f(x) = 2{x^2} + 3x - 2\)

Giải:

\(\Delta = {3^2} - 4.2.( - 2) = 25 > 0\)

Tam thức bậc hai \(f(x) = 2{x^2} + 3x - 2\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 2,{x_2} = \frac{1}{2}\) và hệ số \(a = 2 > 0\)

Ta có bảng xét dấu \(f(x)\) như sau:

Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai - SGK Toán 10 Cánh diều 2

Lý thuyết Dấu của Tam thức bậc hai - SGK Toán 10 Cánh diều

Tam thức bậc hai là một biểu thức toán học quan trọng trong đại số, đặc biệt là trong chương trình Toán 10. Việc hiểu rõ về dấu của tam thức bậc hai là nền tảng để giải quyết các bài toán liên quan đến bất phương trình bậc hai và các ứng dụng thực tế khác.

1. Định nghĩa Tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, và c là các số thực, và a ≠ 0.

2. Nghiệm của Tam thức bậc hai

Nghiệm của tam thức bậc hai là các giá trị của x sao cho f(x) = 0. Để tìm nghiệm, ta giải phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0. Phương pháp giải thường dùng là công thức nghiệm:

x_1,2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

3. Biệt thức Delta (Δ)

Biệt thức delta (Δ) được tính bằng công thức: Δ = b² - 4ac. Delta đóng vai trò quan trọng trong việc xác định số lượng nghiệm của phương trình bậc hai:

Nếu Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂.
Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂ = -b / 2a.
Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm.

4. Dấu của Tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào hệ số a và delta (Δ):

Nếu a > 0:
- Nếu Δ > 0: f(x) > 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂, và f(x) < 0 khi x₁ < x < x₂.
- Nếu Δ = 0: f(x) > 0 với mọi x ≠ x₁.
- Nếu Δ < 0: f(x) > 0 với mọi x.
Nếu a < 0:
- Nếu Δ > 0: f(x) < 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂, và f(x) > 0 khi x₁ < x < x₂.
- Nếu Δ = 0: f(x) < 0 với mọi x ≠ x₁.
- Nếu Δ < 0: f(x) < 0 với mọi x.

5. Bảng xét dấu của Tam thức bậc hai

Bảng xét dấu là một công cụ hữu ích để xác định dấu của tam thức bậc hai trên các khoảng khác nhau. Ví dụ, xét tam thức f(x) = x² - 5x + 6 với a = 1, b = -5, và c = 6.

Δ = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1 > 0

Nghiệm: x₁ = 2, x₂ = 3

x	-∞	2	3	+∞
x - 2	-	+	+	+
x - 3	-	-	+	+
f(x)	+	-	+	+

6. Ứng dụng của Lý thuyết Dấu của Tam thức bậc hai

Lý thuyết dấu của tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến bất phương trình bậc hai, tìm tập nghiệm của bất phương trình, và xác định khoảng giá trị của biến số.