Lý thuyết Tích của vecto mới một số - SGK Toán 10 Cánh Diều
Lý thuyết Tích của Vectơ mới một số - SGK Toán 10 Cánh Diều
Chào mừng bạn đến với bài học về Tích của Vectơ mới một số trong chương trình Toán 10 Cánh Diều tại montoan.com.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng về tích vô hướng của hai vectơ, các tính chất quan trọng và ứng dụng của nó trong giải toán.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, công thức tính tích vô hướng, mối liên hệ giữa tích vô hướng và góc giữa hai vectơ, cũng như cách áp dụng kiến thức này để giải các bài toán thực tế.
I. ĐỊNH NGHĨA II. TÍNH CHẤT III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG
I. ĐỊNH NGHĨA
+) Tích của một vecto \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) với một số thực \(k\) là một vecto, kí kiệu là \(k\overrightarrow a .\)
+) Vecto \(k\overrightarrow a \) có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\) và
Cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\)
Ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\)
II. TÍNH CHẤT
+) Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và hai số thực \(k,t\) ta luôn có:
\(\begin{array}{l}k(t\overrightarrow a ) = (kt)\;\overrightarrow a \\(k + t)\,\overrightarrow a = k\overrightarrow a + t\overrightarrow a \\k(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a + k\overrightarrow b ;\quad k(\overrightarrow a - \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a - k\overrightarrow b \\1\;\overrightarrow a = \overrightarrow a ;\;\;( - 1)\;\overrightarrow a = - \,\overrightarrow a \end{array}\)
III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG
1. Trung điểm của đoạn thẳng:
I là trung điểm của AB \( \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)
Với M bất kì, \( \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \)
2. Trọng tâm của tam giác:
G là trọng tâm \(\Delta ABC\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
Với M bất kì \( \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)
3. Điều kiện để hai vecto cùng phương; 3 điểm thẳng hàng
+ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương \(\Leftrightarrow \exists k: \overrightarrow a = k\overrightarrow b .\)
+ A, B, C thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} .\)
Lý thuyết Tích của Vectơ mới một số - SGK Toán 10 Cánh Diều
Tích của hai vectơ, hay còn gọi là tích vô hướng, là một phép toán quan trọng trong hình học vectơ. Nó cho phép ta tính toán mối quan hệ giữa hai vectơ dựa trên độ dài và góc giữa chúng.
1. Định nghĩa Tích Vô hướng
Cho hai vectơ a và b. Tích vô hướng của a và b, ký hiệu là a ⋅ b, được định nghĩa là:
a ⋅ b = |a| |b| cos(θ)
Trong đó:
- |a| và |b| là độ dài của vectơ a và b.
- θ là góc giữa hai vectơ a và b.
2. Công thức tính Tích Vô hướng trong hệ tọa độ
Nếu a = (x1; y1) và b = (x2; y2) thì:
a ⋅ b = x1x2 + y1y2
Trong không gian, nếu a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) thì:
a ⋅ b = x1x2 + y1y2 + z1z2
3. Tính chất của Tích Vô hướng
- a ⋅ b = b ⋅ a (Tính giao hoán)
- a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (Tính phân phối đối với phép cộng)
- k(a ⋅ b) = (ka) ⋅ b = a ⋅ (kb) (Tính chất đối với phép nhân với một số thực)
- a ⋅ a = |a|2
4. Ứng dụng của Tích Vô hướng
- Tính góc giữa hai vectơ:cos(θ) = (a ⋅ b) / (|a| |b|)
- Kiểm tra tính vuông góc: Hai vectơ a và b vuông góc khi và chỉ khi a ⋅ b = 0
- Tính hình chiếu của một vectơ lên một vectơ khác: Hình chiếu của a lên b là projb a = ((a ⋅ b) / |b|2)b
5. Bài tập ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho a = (2; 3) và b = (-1; 4). Tính a ⋅ b.
a ⋅ b = (2)(-1) + (3)(4) = -2 + 12 = 10
Ví dụ 2: Cho a = (1; 2; -1) và b = (0; -3; 2). Tính a ⋅ b.
a ⋅ b = (1)(0) + (2)(-3) + (-1)(2) = 0 - 6 - 2 = -8
6. Kết luận
Tích của vectơ là một công cụ mạnh mẽ trong hình học vectơ, giúp ta giải quyết nhiều bài toán liên quan đến góc, khoảng cách và mối quan hệ giữa các vectơ. Việc nắm vững lý thuyết và các tính chất của tích vô hướng là rất quan trọng để học tốt môn Toán 10.
