Chương V. Đại số tổ hợp

Chương V: Đại số tổ hợp - Tổng quan

Chương V Đại số tổ hợp trong SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 đóng vai trò then chốt trong việc phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề. Chương này tập trung vào việc nghiên cứu các phương pháp đếm, giúp học sinh hiểu rõ cách tính số lượng các kết quả có thể xảy ra trong các tình huống khác nhau.

Nội dung chính của chương

1. Hoán vị: Nghiên cứu các cách sắp xếp các phần tử của một tập hợp theo một thứ tự nhất định.
2. Chỉnh hợp: Tìm hiểu các cách chọn và sắp xếp một số phần tử từ một tập hợp.
3. Tổ hợp: Khám phá các cách chọn một số phần tử từ một tập hợp mà không quan tâm đến thứ tự.
4. Quy tắc cộng và quy tắc nhân: Áp dụng các quy tắc này để giải quyết các bài toán đếm phức tạp.
5. Công thức tổ hợp: Nắm vững công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử (C^k_n).

Hoán vị - Sắp xếp có thứ tự

Hoán vị của n phần tử là một cách sắp xếp n phần tử theo một thứ tự nhất định. Số hoán vị của n phần tử được ký hiệu là P_n và được tính bằng công thức P_n = n!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 cuốn sách khác nhau trên một kệ sách?

Giải: Số cách sắp xếp là P₃ = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

Chỉnh hợp - Chọn và sắp xếp

Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một cách chọn và sắp xếp k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là A^k_n và được tính bằng công thức A^k_n = n! / (n-k)!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn và sắp xếp 2 học sinh từ một lớp học gồm 10 học sinh để làm ban cán sự lớp (gồm lớp trưởng và lớp phó)?

Giải: Số cách chọn và sắp xếp là A²₁₀ = 10! / (10-2)! = 10 x 9 = 90

Tổ hợp - Chọn không quan tâm thứ tự

Tổ hợp chập k của n phần tử là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự. Số tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là C^k_n và được tính bằng công thức C^k_n = n! / (k! * (n-k)!).

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một lớp học gồm 10 học sinh để thành lập một nhóm?

Giải: Số cách chọn là C³₁₀ = 10! / (3! * 7!) = (10 x 9 x 8) / (3 x 2 x 1) = 120

Quy tắc cộng và quy tắc nhân

Quy tắc cộng: Nếu một công việc có thể được thực hiện theo một trong n cách khác nhau, không trùng nhau, thì số cách thực hiện công việc đó là tổng số cách thực hiện của mỗi cách.

Quy tắc nhân: Nếu một công việc được thực hiện qua m giai đoạn liên tiếp, trong đó giai đoạn thứ i có n_i cách thực hiện, thì số cách thực hiện công việc đó là tích của các số cách thực hiện của mỗi giai đoạn: n₁ x n₂ x ... x n_m.

Ứng dụng của Đại số tổ hợp

Đại số tổ hợp có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống và khoa học, bao gồm:

• Xác suất thống kê: Tính toán xác suất của các sự kiện.
• Khoa học máy tính: Thiết kế thuật toán và cấu trúc dữ liệu.
• Vật lý: Tính toán số lượng các trạng thái có thể xảy ra của một hệ thống.
• Hóa học: Xác định số lượng các phân tử có thể được tạo ra từ các nguyên tử khác nhau.

Bài tập thực hành

Để củng cố kiến thức về chương V Đại số tổ hợp, bạn có thể thực hành các bài tập sau:

• Bài 1: Tính số hoán vị của 5 phần tử.
• Bài 2: Tính số chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử.
• Bài 3: Tính số tổ hợp chập 2 của 6 phần tử.
• Bài 4: Một hộp chứa 4 quả bóng đỏ và 5 quả bóng xanh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 quả bóng bất kỳ?

Kết luận

Chương V Đại số tổ hợp là một chương học quan trọng trong Toán 10. Việc nắm vững các khái niệm và công thức trong chương này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán đếm một cách hiệu quả và ứng dụng kiến thức vào thực tế. Chúc bạn học tập tốt!