THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Hoán vị và Chỉnh hợp trong chương trình Toán 10 Cánh diều. Đây là một trong những chủ đề quan trọng, đặt nền móng cho các kiến thức về tổ hợp và xác suất trong các lớp học cao hơn.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản nhất về hoán vị, chỉnh hợp, cách phân biệt và áp dụng các công thức tính toán một cách chính xác.
A. Lý thuyết 1. Hoán vị a) Định nghĩa
A. Lý thuyết
1. Hoán vị
a) Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. |
b) Số các hoán vị
| Kí hiệu \({P_n}\) là số các hoán vị của n phần tử. Ta có \({P_n} = n(n - 1)...2.1\). |
2. Chỉnh hợp
a) Định nghĩa
Trong thực tiễn, bên cạnh việc chọn ra một số đối tượng từ những đối tượng cho trước, ta còn cần sắp xếp thứ tự của những đối tượng được chọn ra.
Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với \(1 \le k \le n\). Mỗi kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. |
b) Số các chỉnh hợp
Kí hiệu \(A_n^k\) là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử \((1 \le k \le n)\). Ta có: \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}} = n(n - 1)...(n - k + 1)\). |
Nhận xét: \(A_n^n = {P_n}\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
B. Bài tập
Bài 1: Hãy liệt kê các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3.
Giải:
Các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3 là: 123, 132, 213, 231, 312, 321.
Bài 2: Tính số cách xếp thứ tự đã luân lưu 11 m của 5 cầu thủ.
Giải:
Mỗi cách xếp thứ tự đã luận lưu 11 m của 5 cầu thủ là một hoán vị của 5 cầu thủ.
Vậy số cách sắp xếp là: \({P_5} = 5.4.3.2.1 = 120\).
Bài 3: Hãy liệt kê các số gồm hai chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5.
Giải:
Các số gồm hai chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 là: 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54.
Bài 4: Ở các căn hộ chung cư, người ta thường dùng các chữ số để tạo mật mã cửa. Gia đình bạn Linh đặt mật mã của là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi gia đình bạn Linh có bao nhiêu cách để tạo mật mã?
Giải:
Mỗi mật mã của gia đình bạn Linh là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số.
Vậy có \(A_{10}^6 = 10.9.8.7.6.5 = 151200\) (cách để tạo mật mã).
Trong chương trình Toán 10, phần Tổ hợp đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Hai khái niệm cơ bản nhất của phần này là Hoán vị và Chỉnh hợp. Hiểu rõ hai khái niệm này là bước đầu tiên để làm chủ các bài toán phức tạp hơn về sau.
Hoán vị là một cách sắp xếp các phần tử của một tập hợp theo một thứ tự nhất định. Ví dụ, cho tập hợp {A, B, C}, các hoán vị của tập hợp này là: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Số lượng hoán vị của n phần tử được ký hiệu là Pn và được tính bằng công thức:
Pn = n!
Trong đó, n! (n giai thừa) là tích của tất cả các số nguyên dương từ 1 đến n. Ví dụ, 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.
Chỉnh hợp là một cách chọn và sắp xếp k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử theo một thứ tự nhất định. Ví dụ, cho tập hợp {A, B, C, D} và chọn 2 phần tử, các chỉnh hợp của tập hợp này là: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC. Số lượng chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là Ank và được tính bằng công thức:
Ank = n! / (n - k)!
Sự khác biệt chính giữa Hoán vị và Chỉnh hợp nằm ở việc:
Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 quyển sách khác nhau lên một kệ sách?
Đây là một bài toán về hoán vị vì ta sắp xếp tất cả 5 quyển sách. Số cách sắp xếp là P5 = 5! = 120.
Ví dụ 2: Từ các chữ cái A, B, C, D, E, hãy chọn ra 3 chữ cái và sắp xếp chúng theo một thứ tự nhất định. Có bao nhiêu cách?
Đây là một bài toán về chỉnh hợp vì ta chọn 3 chữ cái từ 5 chữ cái và sắp xếp chúng. Số cách chọn và sắp xếp là A53 = 5! / (5 - 3)! = 5! / 2! = 60.
Hoán vị và Chỉnh hợp có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:
Ngoài Hoán vị và Chỉnh hợp, một khái niệm quan trọng khác trong phần Tổ hợp là Tổ hợp. Tổ hợp là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự. Số lượng tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là Cnk và được tính bằng công thức:
Cnk = n! / (k! * (n - k)!)
Để nắm vững kiến thức về Hoán vị và Chỉnh hợp, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong SGK Toán 10 Cánh diều và các tài liệu tham khảo khác để rèn luyện kỹ năng giải toán.
Lý thuyết Hoán vị và Chỉnh hợp là nền tảng quan trọng cho việc học tập các kiến thức về Tổ hợp và Xác suất. Việc hiểu rõ các khái niệm, công thức và ứng dụng của Hoán vị và Chỉnh hợp sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và tự tin hơn.
