Giải bài 5 trang 19 SGK Toán 10 tập 2 – Cánh diều

Giải bài 5 trang 19 SGK Toán 10 tập 2 – Cánh diều: Tóm tắt lý thuyết và phương pháp giải

Bài 5 trang 19 SGK Toán 10 tập 2 – Cánh diều yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh các đẳng thức vectơ liên quan đến trung điểm, trọng tâm của tam giác. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và tính chất sau:

Vectơ: Định nghĩa, các phép toán trên vectơ (cộng, trừ, nhân với một số).
Trung điểm của đoạn thẳng: Vectơ trung điểm, công thức tính tọa độ trung điểm.
Trọng tâm của tam giác: Vectơ trọng tâm, công thức tính tọa độ trọng tâm.
Các quy tắc về đẳng thức vectơ: Quy tắc cộng vectơ, quy tắc nhân vectơ với một số.

Lời giải chi tiết bài 5 trang 19 SGK Toán 10 tập 2 – Cánh diều

Bài 5: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: a)overrightarrow{MA} +overrightarrow{MB} = 2overrightarrow{MC}; b)overrightarrow{GA} +overrightarrow{GB} +overrightarrow{GC} =overrightarrow{0}.

Giải:

a) Vì M là trung điểm của BC nên overrightarrow{MB} =overrightarrow{MC}. Do đó, overrightarrow{MA} +overrightarrow{MB} =overrightarrow{MA} +overrightarrow{MC}. Áp dụng quy tắc cộng vectơ, ta có overrightarrow{MA} +overrightarrow{MC} =overrightarrow{MA} +overrightarrow{MB} = 2overrightarrow{MC} (đpcm).

b) Theo định nghĩa trọng tâm, ta có overrightarrow{GA} +overrightarrow{GB} +overrightarrow{GC} =overrightarrow{0}. Điều này có nghĩa là tổng của ba vectơ từ trọng tâm đến ba đỉnh của tam giác bằng vectơ không. Chứng minh:

overrightarrow{GA} = -3overrightarrow{GM}
overrightarrow{GB} = -3overrightarrow{GM}
overrightarrow{GC} = -3overrightarrow{GM}

Cộng ba đẳng thức trên, ta được overrightarrow{GA} +overrightarrow{GB} +overrightarrow{GC} = -3overrightarrow{GM} - 3overrightarrow{GM} - 3overrightarrow{GM} = -9overrightarrow{GM}. Tuy nhiên, điều này không đúng. Cách chứng minh đúng:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có overrightarrow{GA} +overrightarrow{GB} +overrightarrow{GC} =overrightarrow{0} (đpcm). Điều này xuất phát từ việc G là điểm sao cho overrightarrow{GA} +overrightarrow{GB} +overrightarrow{GC} =overrightarrow{0}, tức là G là điểm cân bằng của ba lực overrightarrow{GA}, overrightarrow{GB}, overrightarrow{GC}.

Mở rộng và bài tập tương tự

Để hiểu sâu hơn về vectơ và ứng dụng trong hình học, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:

Chứng minh đẳng thức vectơ liên quan đến trung điểm, trọng tâm của các hình khác (hình bình hành, hình thang,...).
Vận dụng kiến thức về vectơ để giải các bài toán về quỹ tích.
Sử dụng vectơ để chứng minh các tính chất hình học.

Kết luận

Bài 5 trang 19 SGK Toán 10 tập 2 – Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và rèn luyện kỹ năng giải toán hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và những hướng dẫn trên, các em sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải quyết các bài toán tương tự.