THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với chuyên mục Lý thuyết Tổ hợp của chương trình Toán 10 Cánh diều tại montoan.com.vn. Đây là một trong những chủ đề quan trọng, đặt nền móng cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.
Chúng tôi cung cấp bài giảng chi tiết, dễ hiểu, cùng với các bài tập đa dạng để giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
A. Lý thuyết 1. Định nghĩa
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với \(1 \le k \le n\). Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. |
2. Số các tổ hợp
Nhận xét: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử nhiều gấp k! lần số tổ hợp chập k của n.
Kí hiệu \(C_n^k\) là số tổ hợp chập k của n phần tử với \(1 \le k \le n\). Ta có \(C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}}\). Ngoài ra, ta có công thức \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\) với \(0 \le k \le n\). |
Quy ước: 0! = 1; \(C_n^0 = 1\).
3. Tính chất của các số \(C_n^k\)
| \(C_n^k = C_n^{n - k}\) \((0 \le k \le n)\) và \(C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k = C_n^k\) \((1 \le k \le n)\) |
B. Bài tập
Bài 1: Bạn Quân có 4 chiếc áo sơ mi khác màu là áo vàng, áo xanh, áo trắng và áo nâu. Bạn muốn chọn 2 chiếc áo để mặc khi đi du lịch. Viết các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo.
Giải:
Các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo là:
{áo vàng; áo xanh}, {áo vàng; áo trắng}, {áo vàng; áo nâu}, {áo xanh; áo trắng}, {áo xanh; áo nâu}, {áo trắng; áo nâu}.
Bài 2: Lớp 10A có 18 bạn nữ và 20 bạn nam.
a) Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ?
b) Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam?
c) Có bao nhiêu cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam?
Giải:
a) Mỗi cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ là một tổ hợp chập 3 của 18 phần tử, do đó có \(C_{18}^3\) cách chọn.
b) Mỗi cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam là một tổ hợp chập 5 của 20 phần tử, do đó có \(C_{20}^5\) cách chọn.
c) Số cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam là: \(C_{18}^3.C_{20}^5 = 816.15504 = 12651264\).
Lý thuyết Tổ hợp là một nhánh quan trọng của Toán học, nghiên cứu về các cách sắp xếp và chọn lựa các đối tượng từ một tập hợp. Trong chương trình Toán 10 Cánh diều, phần này giới thiệu các khái niệm cơ bản như hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp, cùng với các công thức tính toán liên quan.
Đây là hai quy tắc nền tảng để giải quyết các bài toán đếm. Quy tắc cộng được sử dụng khi có nhiều phương án lựa chọn độc lập, trong khi quy tắc nhân được sử dụng khi các phương án lựa chọn phụ thuộc lẫn nhau.
Hoán vị là một cách sắp xếp các phần tử của một tập hợp theo một thứ tự nhất định. Số hoán vị của n phần tử là n! (n giai thừa).
Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 cuốn sách khác nhau trên một kệ sách?
Giải: Số cách sắp xếp là 3! = 3 x 2 x 1 = 6.
Chỉnh hợp là một cách chọn và sắp xếp k phần tử từ một tập hợp n phần tử theo một thứ tự nhất định. Số chỉnh hợp của n phần tử lấy k phần tử là Ank = n! / (n-k)!.
Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn và sắp xếp 2 học sinh từ một lớp 10 học sinh để làm ban cán sự lớp (gồm lớp trưởng và lớp phó)?
Giải: Số cách chọn và sắp xếp là A102 = 10! / (10-2)! = 10 x 9 = 90.
Tổ hợp là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự. Số tổ hợp của n phần tử lấy k phần tử là Cnk = n! / (k! * (n-k)!).
Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một lớp 10 học sinh để thành lập một nhóm?
Giải: Số cách chọn là C103 = 10! / (3! * 7!) = (10 x 9 x 8) / (3 x 2 x 1) = 120.
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| n! | Giai thừa của n (n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 1) |
| Ank = n! / (n-k)! | Số chỉnh hợp của n phần tử lấy k phần tử |
| Cnk = n! / (k! * (n-k)!) | Số tổ hợp của n phần tử lấy k phần tử |
Để củng cố kiến thức về Lý thuyết Tổ hợp, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Khi giải các bài tập về Lý thuyết Tổ hợp, bạn cần chú ý:
Lý thuyết Tổ hợp là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán đếm và sắp xếp. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn tự tin hơn trong các kỳ thi và ứng dụng vào thực tế.
