THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu các bài tập trong mục II trang 83, 84 sách giáo khoa Toán 10 tập 2 chương trình Cánh diều. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.
Chúng tôi cung cấp các bước giải chi tiết, rõ ràng, kèm theo các lưu ý quan trọng để các em có thể tự học và hiểu sâu sắc nội dung bài học.
Quan sát Hình 40a và đọc tên một góc nhọn trong bốn góc đó. a) Quan sát Hình 41a, Hình 41b, hãy nhận xét về độ lớn của góc giữa hai đường thẳng Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = {\rm{ }}\left( {{a_1};{\rm{ }}{b_1}} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {{u_2}} {\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{a_2};{b_2}} \right)\). Tính \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).
Tính số đo góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 3\sqrt 3 t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:y - 4 = 0\)
b) \({\Delta _1}:2x - y = 0\) và \({\Delta _2}: - x + 3y - 5 = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) \({\Delta _1}\) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3\sqrt 3 ;3} \right)\), từ đó ta suy ra vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 3;3\sqrt 3 } \right)\).
Các vecto pháp tuyến của \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 3;3\sqrt 3 } \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} = (0;1)\).
\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| { - 3.0 + 3\sqrt 3 .1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\), suy ra \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {30^o}\).
b) Các vecto pháp tuyến của \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} = ( - 1;3)\).
\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2.( - 1) - 1.3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), suy ra \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {45^o}\).
Trong mặt phẳng, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau tại A tạo thành bốn góc đỉnh A (quy ước không kể góc bẹt và góc không).
Quan sát Hình 40a và đọc tên một góc nhọn trong bốn góc đó.
Quan sát Hình 40b và nêu đặc điểm bốn góc tại đỉnh A.
Lời giải chi tiết:
Trong hình 40a, ta có góc \(\widehat {{A_1}}\) là một góc nhọn.
Trong hình 40b thì ta có 4 góc tại đỉnh A là một góc vuông.
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) cắt nhau tại I và có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \). Gọi A và B là các điểm lần lượt thuộc hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) sao cho \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {{u_2}} = \overrightarrow {IB} \).
a) Quan sát Hình 41a, Hình 41b, hãy nhận xét về độ lớn của góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\) và độ lớn của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {IA} \), \(\overrightarrow {IB} \).
b) Chứng tỏ \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right)} \right|\).
Lời giải chi tiết:
a) Độ lớn của góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\) và độ lớn của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {IA} \), \(\overrightarrow {IB} \) có thể bẳng nhau hoặc bù nhau.
b) Nếu \(\left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right) \le {90^o}\) thì \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right)\). Do đó,\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \cos \left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right)\) và \(\cos \left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right) \ge 0\).
Nếu \(\left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right) > {90^o}\)thì \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {180^o} - \left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right)\). Do đó,\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = - \cos \left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right)\) và \(\cos \left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right) < 0\).
Vậy ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right)} \right|\).
Trong mặt phẳng, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau tại A tạo thành bốn góc đỉnh A (quy ước không kể góc bẹt và góc không).
Quan sát Hình 40a và đọc tên một góc nhọn trong bốn góc đó.
Quan sát Hình 40b và nêu đặc điểm bốn góc tại đỉnh A.
Lời giải chi tiết:
Trong hình 40a, ta có góc \(\widehat {{A_1}}\) là một góc nhọn.
Trong hình 40b thì ta có 4 góc tại đỉnh A là một góc vuông.
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) cắt nhau tại I và có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \). Gọi A và B là các điểm lần lượt thuộc hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) sao cho \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {{u_2}} = \overrightarrow {IB} \).
a) Quan sát Hình 41a, Hình 41b, hãy nhận xét về độ lớn của góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\) và độ lớn của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {IA} \), \(\overrightarrow {IB} \).
b) Chứng tỏ \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right)} \right|\).
Lời giải chi tiết:
a) Độ lớn của góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\) và độ lớn của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {IA} \), \(\overrightarrow {IB} \) có thể bẳng nhau hoặc bù nhau.
b) Nếu \(\left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right) \le {90^o}\) thì \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right)\). Do đó,\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \cos \left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right)\) và \(\cos \left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right) \ge 0\).
Nếu \(\left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right) > {90^o}\)thì \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {180^o} - \left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right)\). Do đó,\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = - \cos \left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right)\) và \(\cos \left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right) < 0\).
Vậy ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right)} \right|\).
Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = {\rm{ }}\left( {{a_1};{\rm{ }}{b_1}} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {{u_2}} {\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{a_2};{b_2}} \right)\). Tính \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).
Tính số đo góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 3\sqrt 3 t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:y - 4 = 0\)
b) \({\Delta _1}:2x - y = 0\) và \({\Delta _2}: - x + 3y - 5 = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) \({\Delta _1}\) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3\sqrt 3 ;3} \right)\), từ đó ta suy ra vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 3;3\sqrt 3 } \right)\).
Các vecto pháp tuyến của \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 3;3\sqrt 3 } \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} = (0;1)\).
\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| { - 3.0 + 3\sqrt 3 .1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\), suy ra \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {30^o}\).
b) Các vecto pháp tuyến của \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} = ( - 1;3)\).
\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2.( - 1) - 1.3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), suy ra \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {45^o}\).
Mục II trong SGK Toán 10 tập 2 - Cánh diều tập trung vào việc ứng dụng các kiến thức về vectơ trong hình học. Cụ thể, các bài tập trong mục này thường liên quan đến việc xác định tọa độ của vectơ, thực hiện các phép toán vectơ (cộng, trừ, nhân với một số thực) và sử dụng vectơ để chứng minh các tính chất hình học.
Bài tập 1 yêu cầu học sinh tìm tọa độ của các vectơ dựa trên tọa độ của các điểm. Để giải bài này, học sinh cần nắm vững công thức tính tọa độ của vectơ khi biết tọa độ của các điểm đầu và điểm cuối. Ví dụ, nếu A(xA, yA) và B(xB, yB) thì vectơ AB có tọa độ (xB - xA, yB - yA).
Bài tập 2 thường liên quan đến việc thực hiện các phép toán vectơ. Học sinh cần nhớ các quy tắc cộng, trừ vectơ và quy tắc nhân vectơ với một số thực. Ví dụ, nếu a(xa, ya) và b(xb, yb) thì a + b = (xa + xb, ya + yb) và k*a = (k*xa, k*ya).
Bài tập 3 thường yêu cầu học sinh sử dụng vectơ để chứng minh các tính chất hình học. Để giải bài này, học sinh cần kết hợp kiến thức về vectơ với các định lý, tính chất hình học đã học. Ví dụ, để chứng minh hai đường thẳng song song, ta có thể chứng minh hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng cùng phương.
Ví dụ: Cho A(1, 2) và B(3, 4). Tìm tọa độ của vectơ AB.
Giải: Vectơ AB có tọa độ (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2).
Ngoài SGK Toán 10 tập 2 - Cánh diều, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập trong mục II trang 83, 84 SGK Toán 10 tập 2 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!
