Bài 3. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm

Trong thống kê, việc hiểu rõ mức độ phân tán của dữ liệu là vô cùng quan trọng. Nó giúp chúng ta đánh giá được sự đồng nhất hay khác biệt giữa các giá trị trong một mẫu số liệu. Bài học này sẽ giới thiệu ba số đặc trưng chính để đo lường mức độ phân tán: khoảng biến thiên, phương sai và độ lệch chuẩn.

1. Khoảng biến thiên (Range)

Khoảng biến thiên là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong một mẫu số liệu. Nó cho biết phạm vi mà dữ liệu trải rộng. Công thức tính khoảng biến thiên là:

R = X_max - X_min

Trong đó:

R là khoảng biến thiên
X_max là giá trị lớn nhất
X_min là giá trị nhỏ nhất

Khoảng biến thiên dễ tính nhưng lại nhạy cảm với các giá trị ngoại lệ.

2. Phương sai (Variance)

Phương sai đo lường mức độ phân tán của các giá trị so với giá trị trung bình. Phương sai được tính bằng trung bình cộng của các bình phương độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình.

Công thức tính phương sai mẫu (s²) là:

s² = ∑(x_i - x̄)² / (n - 1)

Trong đó:

s² là phương sai mẫu
x_i là giá trị thứ i trong mẫu
x̄ là giá trị trung bình của mẫu
n là số lượng giá trị trong mẫu

Phương sai luôn là một số không âm. Phương sai càng lớn, dữ liệu càng phân tán.

3. Độ lệch chuẩn (Standard Deviation)

Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. Nó cũng đo lường mức độ phân tán của dữ liệu, nhưng có đơn vị giống với dữ liệu gốc, giúp dễ dàng diễn giải hơn.

Công thức tính độ lệch chuẩn mẫu (s) là:

s = √s² = √[∑(x_i - x̄)² / (n - 1)]

Độ lệch chuẩn càng lớn, dữ liệu càng phân tán.

Ví dụ minh họa

Xét mẫu số liệu sau: 2, 4, 6, 8, 10

Tính khoảng biến thiên: R = 10 - 2 = 8
Tính giá trị trung bình: x̄ = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 6
Tính phương sai:
- (2 - 6)² = 16
- (4 - 6)² = 4
- (6 - 6)² = 0
- (8 - 6)² = 4
- (10 - 6)² = 16
s² = (16 + 4 + 0 + 4 + 16) / (5 - 1) = 40 / 4 = 10
Tính độ lệch chuẩn: s = √10 ≈ 3.16

Ứng dụng của các số đặc trưng đo mức độ phân tán

Các số đặc trưng đo mức độ phân tán được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

Kiểm soát chất lượng: Đánh giá sự đồng đều của sản phẩm.
Tài chính: Đo lường rủi ro của các khoản đầu tư.
Y học: Phân tích sự biến thiên của các chỉ số sinh lý.
Khoa học xã hội: Nghiên cứu sự khác biệt giữa các nhóm đối tượng.

Bài tập vận dụng

Hãy tự giải các bài tập trong SGK Toán 10 tập 2, Cánh diều để củng cố kiến thức về các số đặc trưng đo mức độ phân tán. Chú trọng vào việc hiểu rõ công thức và cách áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm. Chúc bạn học tốt!