Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180. Định lí cosin và định lí sin trong tam giác

Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180. Định lí cosin và định lí sin trong tam giác - SGK Toán 10 Cánh Diều

I. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Trong hình học, giá trị lượng giác của một góc là tỷ lệ giữa các cạnh của một tam giác vuông. Đối với góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta có các giá trị lượng giác cơ bản sau:

• Sin α (sin): Tỷ số giữa cạnh đối và cạnh huyền.
• Cos α (cos): Tỷ số giữa cạnh kề và cạnh huyền.
• Tan α (tan): Tỷ số giữa cạnh đối và cạnh kề.
• Cot α (cot): Tỷ số giữa cạnh kề và cạnh đối.

Lưu ý:

• 0° ≤ α < 90°: Tất cả các giá trị lượng giác đều dương.
• 90° ≤ α ≤ 180°: Sin α dương, cos α, tan α, cot α âm.

II. Định lý cosin

Định lý cosin là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác khi biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa chúng, hoặc biết độ dài ba cạnh của tam giác.

Nội dung định lý: Trong tam giác ABC, ta có:

• a² = b² + c² - 2bc.cosA
• b² = a² + c² - 2ac.cosB
• c² = a² + b² - 2ab.cosC

Ứng dụng:

• Tính độ dài một cạnh khi biết độ dài hai cạnh còn lại và góc xen giữa.
• Tính góc của tam giác khi biết độ dài ba cạnh.

III. Định lý sin

Định lý sin là một công cụ quan trọng khác để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt khi biết độ dài một cạnh và góc đối diện, hoặc biết độ dài hai cạnh và góc đối diện một trong hai cạnh đó.

Nội dung định lý: Trong tam giác ABC, ta có:

• a/sinA = b/sinB = c/sinC

Ứng dụng:

• Tính độ dài một cạnh khi biết độ dài một cạnh và các góc.
• Tính góc của tam giác khi biết độ dài các cạnh và một góc.

IV. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 8cm, góc BAC = 60°. Tính độ dài cạnh BC.

Giải:

Áp dụng định lý cosin, ta có:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cosBAC

BC² = 5² + 8² - 2.5.8.cos60°

BC² = 25 + 64 - 80.0.5

BC² = 49

BC = 7cm

Bài 2: Cho tam giác ABC có BC = 7cm, góc B = 45°, góc C = 60°. Tính độ dài cạnh AB.

Giải:

Áp dụng định lý sin, ta có:

AB/sinC = BC/sinA

Góc A = 180° - B - C = 180° - 45° - 60° = 75°

AB/sin60° = 7/sin75°

AB = (7.sin60°)/sin75° ≈ 6.43cm

V. Kết luận

Bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°, định lý cosin và định lý sin trong tam giác. Việc nắm vững những kiến thức này là rất quan trọng để giải quyết các bài toán hình học và ứng dụng trong thực tế. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của bạn.