Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 3 trang 71 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học.
Chúng tôi cung cấp lời giải dễ hiểu, chi tiết từng bước, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Học sinh có thể tham khảo để tự học hoặc kiểm tra lại kết quả của mình.
Cho tam giác ABC có AB = 6,AC = 7,BC = 8. Tính cos A,sin A và bán kính R của đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.
Đề bài
Cho tam giác ABC có \(AB = 6,AC = 7,BC = 8\). Tính \(\cos A,\sin A\) và bán kính R của đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Tính cosA, bằng cách áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC:
\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2.AC.AB.\cos A\)
Bước 2: Tính sinA, dựa vào cos A.
Bước 3: Tính R, bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC
\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2.\sin A}}\)
Lời giải chi tiết
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:
\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2.AC.AB.\cos A\)
\( \Rightarrow \cos A = \frac{{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{{7^2} + {6^2} - {8^2}}}{{2.7.6}} = \frac{1}{4}\)
Lại có: \({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1 \Rightarrow \sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} \)(do \({0^o} < A \le {90^o}\))
\( \Rightarrow \sin A = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\)
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R\)
\( \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2.\sin A}} = \frac{8}{{2.\frac{{\sqrt {15} }}{4}}} = \frac{{16\sqrt {15} }}{{15}}.\)
Vậy \(\cos A = \frac{1}{4};\)\(\sin A = \frac{{\sqrt {15} }}{4};\)\(R = \frac{{16\sqrt {15} }}{{15}}.\)
Bài 3 trang 71 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 10, giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng vào giải quyết các bài toán hình học. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết cách giải bài tập này:
Bài 3 yêu cầu học sinh sử dụng kiến thức về vectơ để chứng minh một số đẳng thức vectơ liên quan đến trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác. Cụ thể, bài tập thường yêu cầu chứng minh:
Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Khi giải bài tập, học sinh nên vẽ hình để minh họa và sử dụng các tính chất của vectơ để chứng minh các đẳng thức. Việc vẽ hình sẽ giúp học sinh hình dung rõ hơn về bài toán và tìm ra hướng giải quyết.
a) Chứng minh MA = MB nếu M là trung điểm của AB:
Vì M là trung điểm của AB, nên AM = MB. Do đó, MA = MB về độ dài và cùng hướng, suy ra MA = MB.
b) Chứng minh MA + MB = 0 nếu M là trung điểm của AB:
Vì M là trung điểm của AB, nên MA và MB là hai vectơ ngược nhau và có cùng độ dài. Do đó, MA + MB = 0.
c) Chứng minh GA + GB + GC = 0 nếu G là trọng tâm của tam giác ABC:
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Trọng tâm G nằm trên AM và AG = 2GM. Do đó, GA = -2GM.
Ta có: GA + GB + GC = GA + (GB + GC). Vì G là trọng tâm, nên GB + GC = 2GM. Thay vào, ta được: GA + GB + GC = GA + 2GM = -2GM + 2GM = 0.
Để củng cố kiến thức, học sinh có thể làm thêm các bài tập tương tự sau:
Bài 3 trang 71 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về vectơ và ứng dụng của nó trong hình học. Việc nắm vững kiến thức và phương pháp giải bài tập này sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi giải các bài tập tương tự trong tương lai.
Montoan.com.vn hy vọng rằng hướng dẫn chi tiết này sẽ giúp học sinh giải bài tập một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc các em học tốt!