Bài 3. Phương trình đường thẳng

I. Khái niệm cơ bản về đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ, một đường thẳng được xác định bởi một phương trình có dạng tổng quát: Ax + By + C = 0, trong đó A, B, C là các hằng số và A, B không đồng thời bằng 0.

II. Các dạng phương trình đường thẳng

1. Phương trình tổng quát:Ax + By + C = 0
2. Phương trình tham số:
   • x = x₀ + at
   • y = y₀ + bt
   Trong đó (x₀, y₀) là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng, (a, b) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng, và t là tham số.
3. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm:

   Nếu đường thẳng đi qua hai điểm M₁(x₁, y₁) và M₂(x₂, y₂) thì phương trình có dạng:

   (y - y₁) / (x - x₁) = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

III. Quan hệ giữa các dạng phương trình

Có thể chuyển đổi giữa các dạng phương trình khác nhau của đường thẳng. Ví dụ, từ phương trình tổng quát, ta có thể tìm được vectơ pháp tuyến (A, B) và từ đó tìm được vectơ chỉ phương (b, -a).

IV. Điều kiện song song và vuông góc của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng có phương trình:

• d₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0
• d₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0

Khi đó:

• d₁ song song với d₂ khi và chỉ khi: A₁/A₂ = B₁/B₂ và C₁/C₂ ≠ A₁/A₂
• d₁ vuông góc với d₂ khi và chỉ khi: A₁A₂ + B₁B₂ = 0

V. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách d từ điểm M(x₀, y₀) đến đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 được tính theo công thức:

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

VI. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1, 2) và có vectơ chỉ phương (2, -1).

Giải: Phương trình tham số của đường thẳng là:

• x = 1 + 2t
• y = 2 - t

Ví dụ 2: Tìm phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm B(0, 3) và C(-2, 1).

Giải: Vectơ BC = (-2 - 0, 1 - 3) = (-2, -2). Phương trình đường thẳng có dạng:

-2(x - 0) - 2(y - 3) = 0 ⇔ -2x - 2y + 6 = 0 ⇔ x + y - 3 = 0

VII. Luyện tập

Các em hãy tự giải các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập để nắm vững kiến thức về phương trình đường thẳng. Chú trọng việc hiểu rõ các dạng phương trình và cách áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán cụ thể.