Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp

1. Khái niệm tập hợp

Tập hợp là một khái niệm cơ bản trong toán học, dùng để chứa các đối tượng được xác định rõ ràng. Các đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp. Ví dụ, tập hợp các số tự nhiên, tập hợp các số nguyên tố, tập hợp các học sinh trong lớp, v.v.

Ký hiệu tập hợp thường dùng là các chữ cái in hoa như A, B, C,... Phần tử của tập hợp thường được ký hiệu bằng các chữ cái in thường như a, b, c,...

2. Các phép toán trên tập hợp

2.1. Phép hợp (∪)

Phép hợp của hai tập hợp A và B, ký hiệu là A ∪ B, là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B (hoặc cả hai).

Ví dụ: A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 5} thì A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

2.2. Phép giao (∩)

Phép giao của hai tập hợp A và B, ký hiệu là A ∩ B, là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc cả A và B.

Ví dụ: A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 5} thì A ∩ B = {2}

2.3. Phép hiệu (\)

Phép hiệu của hai tập hợp A và B, ký hiệu là A \ B, là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.

Ví dụ: A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 5} thì A \ B = {1, 3}

2.4. Phép phần bù (C_A)

Phần bù của tập hợp A trong tập hợp U (tập vũ trụ), ký hiệu là C_A, là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc U nhưng không thuộc A.

Ví dụ: U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3} thì C_A = {4, 5}

3. Các tính chất của các phép toán trên tập hợp

Tính giao hoán: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A
Tính kết hợp: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Tính phân phối: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Các quy tắc De Morgan: (A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C, (A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C

4. Bài tập ví dụ

Bài 1: Cho A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 4, 6, 8, 10}. Tìm A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A.

Giải:

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A ∩ B = {} (tập rỗng)
A \ B = {1, 3, 5, 7, 9}
B \ A = {2, 4, 6, 8, 10}

Bài 2: Cho U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 3, 5, 7, 9}. Tìm C_A.

Giải:

C_A = {2, 4, 6, 8, 10}

5. Kết luận

Bài học về tập hợp và các phép toán trên tập hợp là nền tảng quan trọng cho việc học toán ở các lớp trên. Việc nắm vững các khái niệm và tính chất này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác.