Bài 6. Ba đường conic

Bài 6. Ba đường conic - SGK Toán 10 - Cánh diều: Giải thích chi tiết và bài tập

Bài 6 trong sách Toán 10 tập 2, chương trình Cánh diều, tập trung vào việc nghiên cứu ba đường conic quan trọng: elip, hypebol và parabol. Đây là những khái niệm nền tảng trong hình học giải tích, có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

1. Elip

Định nghĩa: Elip là tập hợp các điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F1 và F2 (tiêu điểm) là một hằng số (2a, với a > 0).

Các yếu tố của elip:

• Tiêu điểm: F1, F2
• Trục lớn: Đoạn thẳng đi qua hai tiêu điểm, có độ dài 2a
• Trục nhỏ: Đoạn thẳng vuông góc với trục lớn tại tâm, có độ dài 2b
• Tâm sai: e = c/a, với c là khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm

Phương trình chính tắc của elip: x²/a² + y²/b² = 1 (với a > b > 0)

Ví dụ minh họa:

Cho elip có phương trình x²/9 + y²/4 = 1. Xác định các yếu tố của elip.

Giải:

• a² = 9 => a = 3
• b² = 4 => b = 2
• c² = a² - b² = 9 - 4 = 5 => c = √5
• Tiêu điểm: F1(-√5, 0), F2(√5, 0)
• Tâm sai: e = √5/3

2. Hypebol

Định nghĩa: Hypebol là tập hợp các điểm M sao cho trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F1 và F2 (tiêu điểm) là một hằng số (2a, với a > 0).

Các yếu tố của hypebol:

• Tiêu điểm: F1, F2
• Trục thực: Đoạn thẳng nối hai đỉnh, có độ dài 2a
• Trục ảo: Đoạn thẳng vuông góc với trục thực tại tâm, có độ dài 2b
• Tâm sai: e = c/a, với c là khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm

Phương trình chính tắc của hypebol: x²/a² - y²/b² = 1

Ví dụ minh họa:

Cho hypebol có phương trình x²/16 - y²/9 = 1. Xác định các yếu tố của hypebol.

Giải:

• a² = 16 => a = 4
• b² = 9 => b = 3
• c² = a² + b² = 16 + 9 = 25 => c = 5
• Tiêu điểm: F1(-5, 0), F2(5, 0)
• Tâm sai: e = 5/4

3. Parabol

Định nghĩa: Parabol là tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến một điểm cố định F (tiêu điểm) bằng khoảng cách từ M đến một đường thẳng cố định Δ (đường chuẩn).

Các yếu tố của parabol:

• Tiêu điểm: F
• Đường chuẩn: Δ
• Đỉnh: Điểm nằm giữa tiêu điểm và đường chuẩn
• Tham số tiêu cự: p = 2d(O, Δ), với O là đỉnh

Phương trình chính tắc của parabol: y² = 2px

Ví dụ minh họa:

Cho parabol có phương trình y² = 8x. Xác định các yếu tố của parabol.

Giải:

• 2p = 8 => p = 4
• Tiêu điểm: F(2, 0)
• Đường chuẩn: x = -2
• Đỉnh: O(0, 0)

Bài tập vận dụng

Bài 1: Xác định các yếu tố của elip có phương trình 4x² + 9y² = 36.

Bài 2: Xác định các yếu tố của hypebol có phương trình x² - 2y² = 8.

Bài 3: Xác định các yếu tố của parabol có phương trình y² = -12x.

Bài 4: Viết phương trình elip có tiêu điểm F1(-2, 0), F2(2, 0) và đi qua điểm A(3, 4).

Bài 5: Viết phương trình hypebol có tiêu điểm F1(-√5, 0), F2(√5, 0) và đi qua điểm B(2, 3).

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về ba đường conic. Chúc các em học tập tốt!