THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Tọa độ của vecto, một phần quan trọng trong chương trình Toán 10 Cánh diều. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và cần thiết để hiểu rõ về tọa độ của vecto, cách biểu diễn và ứng dụng của chúng trong giải toán.
montoan.com.vn cam kết mang đến cho bạn những bài giảng chất lượng, dễ hiểu và nhiều bài tập thực hành để bạn có thể tự tin chinh phục môn Toán.
A. Lý thuyết 1. Tọa độ của một điểm
A. Lý thuyết
1. Tọa độ của một điểm
Để xác định tọa độ của một điểm M tùy ý trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta làm như sau: + Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a. Số a là hoành độ của điểm M. + Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b. Số b là tung độ của điểm M. Cặp số (a;b) là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta ký hiệu là M(a;b). |
2. Tọa độ của một vecto
| Tọa độ của điểm M được gọi là tọa độ của vecto \(\overrightarrow {OM} \). |
\(\overrightarrow {OM} = (a;b)\) thì a là hoành độ, b là tung độ của \(\overrightarrow {OM} \).
Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:
+ \(\overrightarrow {OM} = (a;b) \Leftrightarrow M(a;b)\).
+ Vecto \(\overrightarrow i (1;0)\), \(\overrightarrow j (0;1)\) có điểm gốc O lần lượt là các vecto đơn vị trên trục Ox, Oy.
| Với mỗi vecto \(\overrightarrow u \) trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vecto \(\overrightarrow u \) là tọa độ của điểm A, trong đó A là điểm sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow u \). |
Ta có định lí sau:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu \(\overrightarrow u = (a;b)\) thì \(\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j \). Ngược lại, nếu \(\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j \) thì \(\overrightarrow u = (a;b)\). |
Chú ý: Với \(\overrightarrow a = ({x_1};{y_1})\) và \(\overrightarrow b = ({x_2};{y_2})\), ta có: \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\end{array} \right.\).
Như vậy, mỗi vecto hoàn toàn được xác định khi biết tọa độ của nó.
3. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vecto
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm \(A({x_A};{y_A})\) và \(B({x_B};{y_B})\). Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A})\). |
B. Bài tập
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M, N, P, Q. Tìm tọa độ các vecto \(\overrightarrow {OM} \),\(\overrightarrow {ON} \), \(\overrightarrow {OP} \), \(\overrightarrow {OQ} \).
Giải:
Từ hình vẽ, ta có: M(-4;3), N(3;0), P(5;-2), Q(0;-3).
Do đó: \(\overrightarrow {OM} = ( - 4;3)\), \(\overrightarrow {ON} = (3;0)\), \(\overrightarrow {OP} = (5; - 2)\), \(\overrightarrow {OQ} = (0; - 3)\).
Bài 2: Tìm tọa độ của các vecto \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) trong hình.
Giải:
Ta có:
\(\overrightarrow a = \overrightarrow {OA} \) và A(2;2); tọa độ vecto \(\overrightarrow {OA} \) chính là tọa độ điểm A nên \(\overrightarrow a = (2;2)\).
\(\overrightarrow b = \overrightarrow {OB} \) và A(1;-3); tọa độ vecto \(\overrightarrow {OB} \) chính là tọa độ điểm B nên \(\overrightarrow b = (1; - 3)\).
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1;2) và vecto \(\overrightarrow u = (3; - 4)\).
a) Biểu diễn vecto \(\overrightarrow u \) qua hai vecto \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \).
b) Biểu diễn vecto \(\overrightarrow {OA} \) qua hai vecto \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \).
Giải:
a) Vì \(\overrightarrow u = (3; - 4)\) nên \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow i + ( - 4)\overrightarrow j = 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j \).
b) Vì điểm A có tọa độ là (1;2) nên \(\overrightarrow {OA} = (1;2)\). Do đó:
\(\overrightarrow {OA} = 1\overrightarrow i + 2\overrightarrow j = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j \).
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(1;1), B(4;3), C(-1;-2).
a) Tìm tọa độ của vecto \(\overrightarrow {AB} \).
b) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Giải:
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (4 - 1;3 - 1)\). Vậy \(\overrightarrow {AB} = (3;2)\).
b) Gọi tọa độ của điểm D là \(({x_D};{y_D})\), ta có: \(\overrightarrow {DC} = ( - 1 - {x_D}; - 2 - {y_D})\).
Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:
\(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = (3;2) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 - {x_D} = 3\\ - 2 - {y_D} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = - 4\\{y_D} = - 4\end{array} \right.\).
Vậy D(-4;-4).
Trong chương trình Toán 10, phần tọa độ của vecto đóng vai trò then chốt trong việc xây dựng nền tảng cho các kiến thức hình học phân tích ở các lớp trên. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết tọa độ của vecto theo SGK Toán 10 Cánh diều, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập để bạn đọc có thể nắm vững kiến thức.
Trước khi đi sâu vào tọa độ của vecto, chúng ta cần ôn lại một số khái niệm cơ bản về vectơ:
Hệ tọa độ Descartes là một hệ tọa độ hai chiều, bao gồm hai trục vuông góc nhau: trục hoành (Ox) và trục tung (Oy). Giao điểm của hai trục là gốc tọa độ (O).
Mỗi điểm trong mặt phẳng được xác định bởi một cặp số (x, y) gọi là tọa độ của điểm đó. x là hoành độ, y là tung độ.
Trong hệ tọa độ Descartes, một vectơ a được xác định bởi tọa độ của điểm cuối của nó. Nếu A(xA, yA) và B(xB, yB) là hai điểm trong mặt phẳng, thì vectơ AB có tọa độ là:
AB = (xB - xA, yB - yA)
Tọa độ của vectơ AB còn được ký hiệu là a = (x, y), trong đó x = xB - xA và y = yB - yA.
Khi vectơ được biểu diễn bằng tọa độ, các phép toán cộng vectơ và nhân vectơ với một số thực được thực hiện như sau:
Tọa độ vectơ được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán hình học, đặc biệt là các bài toán liên quan đến:
Ví dụ 1: Cho A(1, 2) và B(3, 5). Tìm tọa độ của vectơ AB.
Giải:AB = (3 - 1, 5 - 2) = (2, 3).
Ví dụ 2: Cho a = (1, -2) và b = (3, 1). Tính a + b và 2a.
Giải:a + b = (1 + 3, -2 + 1) = (4, -1). 2a = (2 * 1, 2 * -2) = (2, -4).
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết tọa độ của vecto trong SGK Toán 10 Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!
