THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Tổng và hiệu của hai vecto, một phần quan trọng trong chương trình Toán 10 Cánh diều. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và cần thiết để hiểu rõ về các phép toán trên vecto.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, tính chất và các quy tắc tính toán liên quan đến tổng và hiệu của hai vecto, đồng thời áp dụng những kiến thức này vào giải các bài tập thực tế.
A. Lý thuyết 1. Tổng của hai vecto a) Định nghĩa
A. Lý thuyết
1. Tổng của hai vecto
a) Định nghĩa
| Với ba điểm bất kì A, B, C, vecto \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \), kí hiệu là \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \). |
Phép lấy tổng của hai vecto còn được gọi là phép cộng vecto.
b) Quy tắc hình bình hành
| Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \). |
c) Tính chất
Với ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) tùy ý ta có: - Tính chất giao hoán: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a \) - Tính chất kết hợp: \(\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\) - Tính chất của vecto-không: \(\overrightarrow a + \overrightarrow 0 = \overrightarrow a \) |
2. Hiệu của hai vecto
a) Hai vecto đối nhau
| Vecto có cùng độ dài và ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) được gọi là vecto đối của vecto \(\overrightarrow a \), kí hiệu là \( - \overrightarrow a \). Hai vecto \(\overrightarrow a \) và \( - \overrightarrow a \) được gọi là hai vecto đối nhau. |
Quy ước: Vecto đối của vecto \(\overrightarrow 0 \) là vecto \(\overrightarrow 0 \).
Nhận xét:
+) \(\overrightarrow a + ( - \overrightarrow a ) = ( - \overrightarrow a ) + \overrightarrow a \).
+) Hai vecto \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) là hai vecto đối nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow 0 \).
+) Với hai điểm A, B, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0 \).
| Cho hai điểm A, B. Khi đó, hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BA} \) là hai vecto đối nhau, tức là \(\overrightarrow {BA} = - \overrightarrow {AB} \). |
Chú ý:
+) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \). +) G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \). |
b) Hiệu của hai vecto
| Hiệu của vecto \(\overrightarrow a \) và vecto \(\overrightarrow b \) là tổng của vecto \(\overrightarrow a \) và vecto đối của vecto \(\overrightarrow b \), kí hiệu là \(\overrightarrow a - \overrightarrow b \). |
Phép lấy hiệu của hai vecto được gọi là phép trừ vecto.
Nhận xét: Với ba điểm A, B, O bất kì, ta có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \).
B. Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AM} \).
Giải:
Vì \(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BM} \) nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AM} \).
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Chứng minh \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right|\).
Giải:
Theo quy tắc hình bình hành, ta có:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD} \).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\), \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD\).
Do AC = BD nên \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right|\).
Bài 3: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} \).
Giải:
Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} \)
\( = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \) (tính chất giao hoán)
\( = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {CD} \) (tính chất kết hợp)
\( = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} \) (quy tắc ba điểm)
\( = \overrightarrow {AD} \) (quy tắc ba điểm).
Bài 4: Cho bốn điểm bất kì A, B, C, D. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \).
Giải:
Ta có \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CB} = \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CB} } \right) = \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {DD} = \overrightarrow 0 \).
Trong chương trình Toán 10, vecto là một khái niệm quan trọng, đóng vai trò nền tảng cho nhiều kiến thức nâng cao hơn. Việc nắm vững các phép toán trên vecto, đặc biệt là phép cộng và phép trừ (tương ứng với tổng và hiệu của hai vecto), là điều cần thiết để giải quyết các bài toán hình học và vật lý.
Trước khi đi sâu vào lý thuyết tổng và hiệu, chúng ta cần ôn lại định nghĩa về vecto. Vecto là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối. Vecto thường được ký hiệu là AB, trong đó A là điểm gốc và B là điểm cuối.
Phép cộng hai vecto a và b được thực hiện theo quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác. Kết quả của phép cộng là một vecto mới, ký hiệu là a + b.
Phép trừ hai vecto a và b được định nghĩa là phép cộng của a với vecto đối của b, ký hiệu là a - b = a + (-b). Vecto đối của b là vecto có cùng độ dài nhưng ngược hướng với b.
Trong mặt phẳng tọa độ, một vecto có thể được biểu diễn bằng tọa độ. Nếu a = (x1; y1) và b = (x2; y2) thì:
Cho hai vecto a = (2; 3) và b = (-1; 1). Hãy tính a + b và a - b.
a + b = (2 + (-1); 3 + 1) = (1; 4)
a - b = (2 - (-1); 3 - 1) = (3; 2)
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết Tổng và hiệu của hai vecto trong chương trình Toán 10 Cánh diều. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế.
