THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Giải tam giác và Tính diện tích tam giác trong chương trình SGK Toán 10 Cánh diều tại montoan.com.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng quan trọng về tam giác, các yếu tố liên quan và các công thức tính diện tích.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các định lý, tính chất và ứng dụng thực tế của chúng trong việc giải quyết các bài toán hình học. Mục tiêu của bài học là giúp bạn hiểu rõ bản chất của vấn đề và có khả năng áp dụng kiến thức vào các bài tập khác nhau.
A. Lý thuyết 1. Giải tam giác
A. Lý thuyết
1. Giải tam giác
| Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên những dữ kiện cho trước. |
Một tam giác hoàn toàn xác định nếu biết một trong các dữ kiện:
- Biết độ dài hai cạnh và độ lớn góc xen giữa hai cạnh đó.
- Biết độ dài ba cạnh.
- Biết độ dài một cạnh và hai góc kề cạnh đó.
2. Tính diện tích tam giác
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\). Khi đó, diện tích tam giác ABC có thể tính bằng các công thức: \(S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C\) \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \) (công thức Heron) \(S = pr\) |
3. Áp dụng vào bài toán thực tiễn
Sử dụng các hệ thức lượng đã học, định lí sin, côsin, công thức tính diện tích tam giác để áp dụng vào các bài toán thực tiễn.
* Tìm hiểu thêm
Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Gọi R, r, p và S lần lượt là bán kính đường tròn ngoài tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp, nửa chu vi và diện tích của tam giác ABC.
a) Công thức độ dài đường trung tuyến
Gọi \({m_a},{m_b},{m_c}\) là độ dài các đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Ta có: \({m_a}^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}\); \({m_b}^2 = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}\); \({m_c}^2 = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4}\) |
b) Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
| \(r = \frac{S}{p}\); \(R = \frac{{abc}}{{4S}}\) |
B. Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC có:
a) AB = 15, AC = 35, \(\widehat A = {60^o}\). Tính cạnh BC.
Giải:
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC\cos A = {15^2} + {35^2} - 2.15.35.\cos {60^o} = 925\).
Do đó \(BC = \sqrt {925} \approx 30,4\).
b) AB = 6, AC = 10, BC = 14. Tính góc A.
Giải:
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:
\(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} = \frac{{{6^2} + {{10}^2} - {{14}^2}}}{{2.6.10}} = - 0,5\).
Do đó \(\widehat A = {120^o}\).
c) BC = 100, \(\widehat B = {60^o}\), \(\widehat C = {40^o}\). Tính góc A và các cạnh AB, AC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Giải:
Ta có \(\widehat A = {180^o} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = {180^o} - \left( {{{60}^o} + {{40}^o}} \right) = {80^o}\).
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{CA}}{{\sin B}}\).
Do đó:
\(AB = \frac{{BC\sin C}}{{\sin A}} = \frac{{100\sin {{40}^o}}}{{\sin {{80}^o}}} \approx 65,3\).
\(AC = \frac{{BC\sin B}}{{\sin A}} = \frac{{100\sin {{60}^o}}}{{\sin {{80}^o}}} \approx 87,9\).
Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 7,5, AC = 15,5, \(\widehat A = {75^o}\). Tính diện tích S của tam giác ABC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Giải:
Ta có \(S = \frac{1}{2}AB.AC\sin A = \frac{1}{2}.7,5.15,5.\sin {75^o} \approx 56,1\).
Bài 3: Mảnh vườn hình tam giác gia đình bạn Nam có chiều dài các cạnh là MN = 20 m, NP = 28 m, MP = 32 m. Hỏi diện tích mảnh vườn của gia đình bạn Nam là bao nhiêu mét vuông (làm tròn đến hàng phần mười)?
Giải:
Ta có \(p = \frac{{20 + 28 + 32}}{2} = 40\) (m).
Diện tích mảnh vườn là: \(S = \sqrt {40(40 - 20)(40 - 28)(40 - 32)} \approx 277,1\) \(({m^2})\).
Bài 4: Đứng ở vị trí A trên bờ biển, bạn Minh đo được góc nghiêng so với bờ biển tới một vị trí C trên đảo là 30°. Sau đó đi chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A một khoảng 100 m và đo được góc nghiêng so với bờ biển tới vị trí C đã chọn là 40°. Tính khoảng cách từ vị trí C trên đảo tới bờ biển theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Giải:
Xét tam giác ABC, có \(\widehat C = {180^o} - \left( {\widehat B + \widehat A} \right) = {180^o} - \left( {{{40}^o} + {{30}^o}} \right) = {110^o}\).
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC: \(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\).
Do đó \(AC = \frac{{AB\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{100\sin {{40}^o}}}{{\sin {{110}^o}}} \approx 68,4\) (m).
Xét tam giác vuông AHC có \(CH = AC\sin {30^o} \approx 68,4.0,5 \approx 34,2\) (m).
Vậy khoảng cách từ vị trí C trên đảo tới bờ biển xấp xỉ 34,2 m.
Tam giác là một trong những hình cơ bản và quan trọng nhất trong hình học. Việc nắm vững lý thuyết về tam giác, đặc biệt là các phương pháp giải tam giác và tính diện tích, là nền tảng để học tốt các môn học liên quan đến toán học và khoa học kỹ thuật.
Một tam giác được xác định bởi ba cạnh và ba góc. Các yếu tố này có mối quan hệ mật thiết với nhau, được thể hiện qua các định lý và tính chất quan trọng.
Tam giác được phân loại dựa trên độ dài các cạnh và số đo các góc:
Định lý Pitago là một trong những định lý quan trọng nhất trong hình học, được áp dụng cho tam giác vuông:
Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. (a2 + b2 = c2)
Hệ thức lượng trong tam giác vuông liên hệ giữa các cạnh và đường cao:
Có nhiều công thức để tính diện tích tam giác, tùy thuộc vào thông tin đã biết:
Lý thuyết giải tam giác và tính diện tích có nhiều ứng dụng trong thực tế, như:
Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử giải các bài tập sau:
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Giải tam giác và Tính diện tích tam giác - SGK Toán 10 Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!
