Giải bài 4 trang 92 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều
Giải bài 4 trang 92 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 4 trang 92 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học.
Chúng tôi cung cấp các bước giải rõ ràng, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững phương pháp và tự tin làm bài tập.
Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62).
Đề bài
Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow b .\) Biểu diễn các vecto \(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AE} \) theo \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b .\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Vận dụng quy tắc cộng: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)
\(\overrightarrow {BD} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \) vecto \(\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = \frac{1}{3}\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} = \overrightarrow b - \overrightarrow a \)
Lại có: vecto \(\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = \frac{1}{3}\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BD} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{3}(\overrightarrow b - \overrightarrow a )\)
Tương tự: vecto \(\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow {BE} } \right| = \frac{2}{3}\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BE} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}(\overrightarrow b - \overrightarrow a )\)
Ta có:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow a + \frac{1}{3}(\overrightarrow b - \overrightarrow a ) = \frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b \)
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} \Leftrightarrow \overrightarrow {AE} = \overrightarrow a + \frac{2}{3}(\overrightarrow b - \overrightarrow a ) = \frac{1}{3}\overrightarrow a + \frac{2}{3}\overrightarrow b \)
Giải bài 4 trang 92 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều: Hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu
Bài 4 trang 92 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 10, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh các đẳng thức vectơ liên quan đến trung điểm, trọng tâm của tam giác. Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết bài tập này:
Nội dung bài tập
Bài 4 yêu cầu chứng minh các đẳng thức vectơ sau:
- a)MA + MB = 2MO, với O là trung điểm của AB.
- b)GA + GB + GC = 0, với G là trọng tâm của tam giác ABC.
Lời giải chi tiết
a) Chứng minh MA + MB = 2MO:
Ta có: O là trung điểm của AB nên AO = OB. Do đó, OA = -OB.
Áp dụng quy tắc cộng vectơ, ta có:
MA + MB = (MO + OA) + (MO + OB) = 2MO + (OA + OB) = 2MO + 0 = 2MO
Vậy, MA + MB = 2MO (đpcm).
b) Chứng minh GA + GB + GC = 0:
Ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA = 2/3 * GD, GB = 2/3 * GE, GC = 2/3 * GF, với D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
Mặt khác, ta có:
GD = (GB + GC)/2, GE = (GC + GA)/2, GF = (GA + GB)/2
Do đó:
GA + GB + GC = 2/3 * GD + 2/3 * GE + 2/3 * GF = 2/3 * ((GB + GC)/2 + (GC + GA)/2 + (GA + GB)/2)
= 2/3 * (2GA + 2GB + 2GC)/2 = 2/3 * (GA + GB + GC)
Suy ra: GA + GB + GC = 2/3 * (GA + GB + GC). Điều này chỉ đúng khi GA + GB + GC = 0.
Vậy, GA + GB + GC = 0 (đpcm).
Lưu ý khi giải bài tập
- Nắm vững các quy tắc cộng, trừ vectơ.
- Hiểu rõ định nghĩa về trung điểm, trọng tâm của tam giác.
- Sử dụng hình vẽ để minh họa và dễ dàng hình dung bài toán.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.
Ứng dụng của kiến thức vectơ trong hình học
Kiến thức về vectơ có ứng dụng rộng rãi trong hình học, giúp giải quyết các bài toán liên quan đến:
- Chứng minh các đẳng thức vectơ.
- Tìm mối quan hệ giữa các điểm trong hình học.
- Tính độ dài, góc giữa các vectơ.
- Giải các bài toán về hình học phẳng và không gian.
Bài tập tương tự
Để củng cố kiến thức, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều và các tài liệu tham khảo khác.
Kết luận
Bài 4 trang 92 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về vectơ vào giải quyết các bài toán hình học. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các bạn học sinh sẽ tự tin hơn khi làm bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
