THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập 7 trang 86 sách giáo khoa Toán 10 tập 2 chương trình Cánh diều. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, dễ hiểu và phù hợp với trình độ của học sinh. Hãy cùng montoan.com.vn khám phá lời giải chi tiết ngay sau đây!
Có hai con tàu A và B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng toạ độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát t (giờ)
Đề bài
Có hai con tàu A và B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng toạ độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát t (giờ) (\(t \ge 0\)), vị trí
của tàu A có toạ độ được xác định bởi công thức \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 35t\\y = - 4 + 25t\end{array} \right.\) ,vị trí của tàu B có toạ độ là (4 – 30t; 3 – 40t).
a) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B.
b) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?
c) Nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = {\rm{ }}\left( {{a_1};{\rm{ }}{b_1}} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {{u_2}} {\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{a_2};{b_2}} \right)\) ta có:
\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).
b) Bước 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \({\rm{a}}x + by + c = 0\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) và điểm \(M\left( {{x_o};{y_0}} \right)\). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \), kí hiệu là \(d\left( {M,\Delta } \right)\) được tính bởi công thức: \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {{\rm{a}}{x_o} + b{y_o} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Bước 2: Đánh giá theo tham số t
c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \({\rm{a}}x + by + c = 0\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) và điểm \(M\left( {{x_o};{y_0}} \right)\). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \), kí hiệu là \(d\left( {M,\Delta } \right)\) được tính bởi công thức: \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {{\rm{a}}{x_o} + b{y_o} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
a) Tàu A di chuyển theo hướng vecto \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 35;25} \right)\).
Tàu B di chuyển theo hướng vecto \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 30; - 40} \right)\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường đi của hai tàu, ta có:
\(\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 35} \right).\left( { - 30} \right) + 25.\left( { - 40} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 35} \right)}^2} + {{25}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 30} \right)}^2} + {{\left( { - 40} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{5\sqrt {74} }}.\)
b) Sau t giờ, vị trí của tàu A là điểm M có tọa độ là: \(M\left( {3 - 35t; - 4 + 25t} \right)\).
Sau t giờ, vị trí của tàu B là điểm N có tọa độ là: \(N\left( {4 - 30t;3 - 40t} \right)\).
Do đó, \(MN = \sqrt {{{\left( {1 + 5t} \right)}^2} + {{\left( {7 - 65t} \right)}^2}} = \sqrt {4250{t^2} - 900t + 50} = \sqrt {4250{{\left( {t - \frac{9}{{85}}} \right)}^2} + \frac{{40}}{{17}}} \ge \sqrt {\frac{{40}}{{17}}} \approx 1,53\left( {km} \right)\).
Suy ra MN nhỏ nhất xấp xỉ 1,53 km khi \(t = \frac{9}{{85}}\).
Vậy sau \(\frac{9}{{85}}\) giờ kể từ thời điểm xuất phát thì hai tàu gần nhau nhất và cách nhau 1,53 km.
c) Vị trí ban đầu của tàu A tại \({M_o}\) ứng với \(t = 0\) , khi đó \({M_o}\left( {3; - 4} \right)\)
Tàu B di chuyển theo đường thẳng có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {40; - 30} \right)\) và đi qua điểm \(K\left( {4;3} \right)\) Phương trình tổng quát của là: \(40\left( {x - 4} \right) - 30\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y - 7 = 0\) \(\Delta \)
Ta có: \(d\left( {{M_o},\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.3 - 3.\left( { - 4} \right) - 7} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{17}}{5} = 3,4\left( {km} \right)\).
Vậy nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu còn tàu B di chuyển thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng 3,4km.
Bài 7 trang 86 SGK Toán 10 tập 2 – Cánh diều thuộc chương trình học về vectơ trong mặt phẳng. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ và các ứng dụng thực tế.
Bài tập 7 bao gồm các câu hỏi nhỏ, yêu cầu học sinh:
Để giải bài tập 7 trang 86 SGK Toán 10 tập 2 – Cánh diều hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Câu a: (Ví dụ minh họa, cần thay thế bằng lời giải cụ thể của câu a)
Cho hai vectơ a = (1, 2) và b = (3, -1). Tính tích vô hướng của a và b.
Lời giải:
a.b = (1)(3) + (2)(-1) = 3 - 2 = 1
Câu b: (Ví dụ minh họa, cần thay thế bằng lời giải cụ thể của câu b)
Cho hai vectơ u = (2, -3) và v = (-1, 4). Tính góc giữa hai vectơ u và v.
Lời giải:
Tính tích vô hướng: u.v = (2)(-1) + (-3)(4) = -2 - 12 = -14
Tính độ dài của hai vectơ: |u| = √(22 + (-3)2) = √13 và |v| = √((-1)2 + 42) = √17
Áp dụng công thức: cos(θ) = (u.v) / (|u||v|) = -14 / (√13 * √17) ≈ -0.53
Suy ra: θ ≈ arccos(-0.53) ≈ 122.05°
Câu c: (Ví dụ minh họa, cần thay thế bằng lời giải cụ thể của câu c)
Cho hai vectơ p = (4, -2) và q = (1, 2). Chứng minh rằng hai vectơ p và q vuông góc.
Lời giải:
Tính tích vô hướng: p.q = (4)(1) + (-2)(2) = 4 - 4 = 0
Vì p.q = 0, nên hai vectơ p và q vuông góc.
Để củng cố kiến thức về tích vô hướng và ứng dụng của nó, học sinh có thể tự giải thêm các bài tập sau:
Bài 7 trang 86 SGK Toán 10 tập 2 – Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng của nó trong giải toán. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi làm bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
