Bài 4. Nhị thức newton

Bài 4. Nhị thức Newton - SGK Toán 10 - Cánh diều

Bài 4 trong sách giáo khoa Toán 10 tập 2, chương Đại số tổ hợp, Cánh diều, tập trung vào việc nghiên cứu Nhị thức Newton. Đây là một công cụ mạnh mẽ trong toán học, đặc biệt quan trọng trong việc khai triển biểu thức và tính toán xác suất.

1. Giới thiệu về Nhị thức Newton

Nhị thức Newton là một công thức toán học cho phép khai triển biểu thức (a + b)^n, trong đó n là một số nguyên không âm. Công thức này có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học.

2. Công thức Nhị thức Newton

Công thức Nhị thức Newton được biểu diễn như sau:

(a + b)^n = C_n⁰aⁿb⁰ + C_n¹a^n-1b¹ + C_n²a^n-2b² + ... + C_nⁿa⁰bⁿ

Trong đó:

• C_n^k là hệ số nhị thức, được tính bằng công thức: C_n^k = n! / (k! * (n-k)!)
• n! là giai thừa của n, được tính bằng tích của tất cả các số nguyên dương từ 1 đến n.

3. Tính chất của hệ số nhị thức

Hệ số nhị thức có một số tính chất quan trọng:

• C_n^k = C_n^n-k (Tính đối xứng)
• C_n⁰ = C_nⁿ = 1
• C_n¹ = C_n^n-1 = n

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khai triển (x + 2)^3

(x + 2)^3 = C₃⁰x³2⁰ + C₃¹x²2¹ + C₃²x¹2² + C₃³x⁰2³

= 1*x³*1 + 3*x²*2 + 3*x*4 + 1*1*8

= x³ + 6x² + 12x + 8

Ví dụ 2: Tìm hệ số của x² trong khai triển (x - 1)^5

Hệ số của x² là C₅² * x² * (-1)³ = 10 * x² * (-1) = -10x². Vậy hệ số của x² là -10.

5. Bài tập vận dụng

Bài 1: Khai triển (a + b)^4

Bài 2: Tìm hệ số của x³ trong khai triển (2x - 1)^6

Bài 3: Chứng minh rằng C_n^k + C_n^k+1 = C_n+1^k+1

6. Ứng dụng của Nhị thức Newton

Nhị thức Newton có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác:

• Khai triển đa thức
• Tính xác suất trong thống kê
• Giải các bài toán về tổ hợp

7. Lưu ý khi sử dụng Nhị thức Newton

Khi sử dụng Nhị thức Newton, cần lưu ý:

• n phải là một số nguyên không âm
• Cần tính toán chính xác các hệ số nhị thức
• Chú ý đến dấu của các số hạng trong khai triển

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về Nhị thức Newton. Chúc các em học tập tốt!