Lý thuyết Bất phương trình bậc hai một ẩn - SGK Toán 10 Cánh diều

I. Bất phương trình bậc hai một ẩn

+) Bất phương trình bậc hai một ẩn có dạng \(a{x^2} + bx + c < 0;a{x^2} + bx + c \le 0;a{x^2} + bx + c > 0;a{x^2} + bx + c \ge 0\) (\(a,b,c \in \mathbb{R};a \ne 0\))

+) Số \({x_0} \in \mathbb{R}\) thỏa mãn BPT được gọi là nghiệm.

II. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

1. Giải bằng cách xét dấu tam thức bậc hai

Bước 1: Xác định dấu của a và tìm nghiệm của f(x) (nếu có)

Bước 2: Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập hợp những giá trị x sao cho f(x) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

+ \(\Delta < 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}\)

+ \(\Delta = 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{{ - b}}{{2a}}} \right\}\)

+ \(\Delta > 0\): f(x) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\)

Lý thuyết Bất phương trình bậc hai một ẩn - SGK Toán 10 Cánh diều 1

2. Giải bằng cách sử dụng đồ thị

+) Nghiệm của BPT \(a{x^2} + bx + c > 0\) là tập hợp x ứng với phần Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) nằm phía trên trục hoành.

+) Nghiệm của BPT \(a{x^2} + bx + c < 0\) là tập hợp x ứng với phần Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) nằm phía dưới trục hoành.

Lý thuyết Bất phương trình bậc hai một ẩn - SGK Toán 10 Cánh diều

Bất phương trình bậc hai một ẩn là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 10, đặc biệt là trong sách giáo khoa Cánh diều. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải quyết loại bất phương trình này là nền tảng cho việc học tập các kiến thức toán học nâng cao hơn.

1. Định nghĩa Bất phương trình bậc hai một ẩn

Bất phương trình bậc hai một ẩn là bất phương trình có dạng:

ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≥ 0
ax² + bx + c ≤ 0

Trong đó:

a, b, c là các số thực, với a ≠ 0
x là ẩn số

2. Tập nghiệm của Bất phương trình bậc hai một ẩn

Tập nghiệm của bất phương trình bậc hai một ẩn là tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình.

Để tìm tập nghiệm, ta thường thực hiện các bước sau:

Tính delta (Δ) của tam thức bậc hai: Δ = b² - 4ac
Xét các trường hợp của Δ:

Δ > 0: Bất phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂.
Δ = 0: Bất phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂.
Δ < 0: Bất phương trình vô nghiệm.

Xác định dấu của tam thức bậc hai trên các khoảng xác định bởi các nghiệm.
Kết luận tập nghiệm dựa trên dấu của tam thức và dấu của bất phương trình.

3. Quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai

Quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai ax² + bx + c:

Khoảng	Dấu của ax² + bx + c
x < x₁ (với x₁ < x₂)	Cùng dấu với a
x₁ < x < x₂	Ngược dấu với a
x > x₂	Cùng dấu với a

4. Ví dụ minh họa

Giải bất phương trình: x² - 5x + 6 > 0

Ta có: a = 1, b = -5, c = 6

Δ = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1 > 0

Vậy, bất phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x₁ = (5 - √1) / 2 = 2

x₂ = (5 + √1) / 2 = 3

Vì a = 1 > 0, nên:

x < 2: x² - 5x + 6 > 0
2 < x < 3: x² - 5x + 6 < 0
x > 3: x² - 5x + 6 > 0

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là: x < 2 hoặc x > 3

5. Lưu ý quan trọng

Khi giải bất phương trình bậc hai một ẩn, cần chú ý đến các trường hợp sau:

Nếu bất phương trình có dấu “≥” hoặc “≤”, thì các nghiệm của phương trình bậc hai cũng thuộc tập nghiệm.
Khi xét dấu của tam thức bậc hai, cần xác định đúng dấu của a.
Luôn kiểm tra lại kết quả bằng cách chọn một giá trị của x thuộc mỗi khoảng và thay vào bất phương trình để kiểm tra.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết Bất phương trình bậc hai một ẩn - SGK Toán 10 Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!