Giải bài 5 trang 92 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều
Giải bài 5 trang 92 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 5 trang 92 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học.
Chúng tôi cung cấp lời giải dễ hiểu, chi tiết từng bước, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Học sinh có thể tham khảo để tự học, ôn tập hoặc kiểm tra lại kết quả của mình.
Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh:
Đề bài
Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh:
a) \(\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} = 4\overrightarrow {EG} \)
b) \(\overrightarrow {EA} = 4\overrightarrow {EG} \)
c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và \(\overrightarrow {AG} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AE} \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) M là trung điểm của AB thì \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = 2\overrightarrow {GM} \) với mọi G.
+) E là trọng tâm tam giác BCD thì \(\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} = \overrightarrow 0 \)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} \)\( = 4\overrightarrow {EG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} \)
Mà: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = 2\overrightarrow {GM} ;\) (do M là trung điểm của AB)
\(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GN} \) (do N là trung điểm của CD)
\( \Rightarrow \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} = 4\overrightarrow {EG} + 2(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} ) = 4\overrightarrow {EG} \) (do G là trung điểm của MN)
b) Vì E là trọng tâm tam giác BCD nên \(\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} = \overrightarrow 0 \)
Từ ý a ta suy ra \(\overrightarrow {EA} = 4\overrightarrow {EG} \)
c) Ta có: \(\overrightarrow {EA} = 4\overrightarrow {EG} \Leftrightarrow \overrightarrow {EA} = 4.(\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AG} ) \Leftrightarrow - 3\overrightarrow {EA} = 4\overrightarrow {AG} \)
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AE} = 4\overrightarrow {AG} \) hay \(\overrightarrow {AG} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AE} \)
Suy ra A, G, E thẳng hàng và \(AG = \frac{3}{4}AE \) nên G thuộc đoạn AE.
Giải bài 5 trang 92 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều: Tổng quan
Bài 5 trang 92 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, đặc biệt là các phép toán vectơ như cộng, trừ, nhân với một số thực, và tích vô hướng để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học phẳng. Bài tập này thường xuất hiện trong các đề thi và kiểm tra, do đó việc nắm vững phương pháp giải là rất quan trọng.
Nội dung bài tập
Bài 5 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
- Chứng minh đẳng thức vectơ: Yêu cầu học sinh sử dụng các quy tắc phép toán vectơ để chứng minh một đẳng thức vectơ cho trước.
- Tìm vectơ: Yêu cầu học sinh tìm một vectơ thỏa mãn các điều kiện cho trước, thường liên quan đến các điểm trong hình học.
- Tính độ dài vectơ: Yêu cầu học sinh tính độ dài của một vectơ, sử dụng công thức tính độ dài vectơ và các kiến thức về hình học.
- Ứng dụng tích vô hướng: Yêu cầu học sinh sử dụng tích vô hướng để tính góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ, hoặc giải các bài toán liên quan đến hình học.
Phương pháp giải bài tập
Để giải bài 5 trang 92 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều hiệu quả, học sinh cần:
- Nắm vững định nghĩa và tính chất của vectơ: Hiểu rõ các khái niệm cơ bản về vectơ, như vectơ bằng nhau, vectơ đối nhau, vectơ cùng phương, và các tính chất của phép toán vectơ.
- Sử dụng các quy tắc phép toán vectơ: Thành thạo các quy tắc cộng, trừ, nhân với một số thực, và tích vô hướng của vectơ.
- Vận dụng kiến thức hình học: Kết hợp kiến thức về hình học phẳng, như tam giác, hình chữ nhật, hình bình hành, để giải quyết các bài toán vectơ.
- Vẽ hình: Vẽ hình minh họa giúp học sinh hình dung rõ hơn về bài toán và tìm ra phương pháp giải phù hợp.
Ví dụ minh họa
Ví dụ: Cho tam giác ABC, với M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AB + AC = 2AM.
Giải:
Vì M là trung điểm của BC, ta có BM = MC. Do đó, BC = 2BM.
Ta có: AM = AB + BM.
Suy ra: 2AM = 2(AB + BM) = 2AB + 2BM = 2AB + BC.
Mặt khác, BC = AC - AB.
Vậy, 2AM = 2AB + AC - AB = AB + AC.
Luyện tập thêm
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về vectơ, học sinh nên luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Việc giải nhiều bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững phương pháp và tự tin hơn khi làm bài kiểm tra.
Kết luận
Bài 5 trang 92 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải hiệu quả mà Montoan.com.vn cung cấp, học sinh sẽ học tập tốt môn Toán 10.
