Bài 5. Phương trình đường tròn

Bài 5 trong sách giáo khoa Toán 10 tập 2, chương trình Cánh diều, tập trung vào việc xây dựng và ứng dụng phương trình đường tròn trong mặt phẳng tọa độ. Đây là một chủ đề quan trọng, kết nối giữa đại số và hình học, giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các yếu tố hình học và biểu thức đại số.

I. Khái niệm cơ bản về đường tròn

Trước khi đi sâu vào phương trình, chúng ta cần ôn lại một số khái niệm cơ bản về đường tròn:

• Định nghĩa: Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm nằm trên một mặt phẳng, cách một điểm cố định (tâm đường tròn) một khoảng không đổi (bán kính).
• Tâm đường tròn (I): Điểm cố định trong định nghĩa đường tròn.
• Bán kính (R): Khoảng cách không đổi từ tâm đường tròn đến bất kỳ điểm nào trên đường tròn.

II. Phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn là một phương trình đại số mô tả tập hợp các điểm trên đường tròn. Có hai dạng phương trình đường tròn thường gặp:

1. Phương trình chính tắc

Nếu đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R, thì phương trình chính tắc của đường tròn là:

(x - a)² + (y - b)² = R²

Trong đó:

• x, y là tọa độ của một điểm bất kỳ trên đường tròn.
• a, b là tọa độ của tâm đường tròn.
• R là bán kính của đường tròn.

2. Phương trình tổng quát

Phương trình tổng quát của đường tròn có dạng:

x² + y² - 2ax - 2by + c = 0

Trong đó:

• a, b là hoành độ và tung độ của tâm đường tròn.
• c = a² + b² - R²

Điều kiện để phương trình trên là phương trình của một đường tròn là: a² + b² - c > 0

III. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn có tâm I(2; -3) và bán kính R = 5.

Giải:

Áp dụng phương trình chính tắc, ta có:

(x - 2)² + (y + 3)² = 5²

(x - 2)² + (y + 3)² = 25

Ví dụ 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình: x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0

Giải:

Ta có: a = 2, b = -3, c = -3

Tâm đường tròn là I(2; -3)

Bán kính R = √(a² + b² - c) = √(2² + (-3)² - (-3)) = √16 = 4

IV. Ứng dụng của phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các lĩnh vực khác của toán học, ví dụ:

• Xây dựng và thiết kế: Tính toán quỹ đạo của các vật thể chuyển động tròn, thiết kế bánh xe, vòng bi,...
• Địa lý: Xác định vị trí trên bản đồ, tính toán khoảng cách giữa các điểm.
• Vật lý: Mô tả quỹ đạo của các hành tinh, vệ tinh,...

V. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phương trình đường tròn, các em nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Các bài tập trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo là một nguồn tài liệu hữu ích. Ngoài ra, các em có thể tìm kiếm các bài tập trực tuyến hoặc tham gia các khóa học luyện thi để nâng cao kỹ năng giải toán.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về Bài 5. Phương trình đường tròn - SGK Toán 10 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!