Bài 1. Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây

Bài 1 trong chương Đại số tổ hợp của SGK Toán 10 Cánh diều tập trung vào việc giới thiệu và ứng dụng các quy tắc đếm cơ bản. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá quy tắc cộng, quy tắc nhân và sơ đồ hình cây, những công cụ không thể thiếu trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến việc đếm số phần tử của một tập hợp.

1. Quy tắc cộng

Quy tắc cộng phát biểu rằng: Nếu một công việc có thể được thực hiện theo một trong hai cách độc lập, không đồng thời, thì số cách thực hiện công việc đó bằng tổng số cách thực hiện theo từng cách.

Công thức: Nếu có m cách thực hiện công việc A và n cách thực hiện công việc B, thì có m + n cách thực hiện hoặc công việc A hoặc công việc B.

Ví dụ: Một học sinh có 3 chiếc áo và 2 chiếc quần. Hỏi học sinh đó có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo?

Giải: Học sinh có 3 cách chọn áo và 2 cách chọn quần. Vậy tổng số cách chọn một bộ quần áo là 3 + 2 = 5 cách.

2. Quy tắc nhân

Quy tắc nhân phát biểu rằng: Nếu một công việc được thực hiện qua hai giai đoạn liên tiếp, thì số cách thực hiện công việc đó bằng tích số cách thực hiện từng giai đoạn.

Công thức: Nếu có m cách thực hiện công việc A và n cách thực hiện công việc B sau khi đã thực hiện công việc A, thì có m x n cách thực hiện cả hai công việc A và B.

Ví dụ: Một người có 4 cách đi từ thành phố A đến thành phố B và 3 cách đi từ thành phố B đến thành phố C. Hỏi người đó có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C qua thành phố B?

Giải: Người đó có 4 cách đi từ A đến B và 3 cách đi từ B đến C. Vậy tổng số cách đi từ A đến C qua B là 4 x 3 = 12 cách.

3. Sơ đồ hình cây

Sơ đồ hình cây là một công cụ trực quan giúp chúng ta liệt kê tất cả các khả năng có thể xảy ra trong một tình huống nào đó. Nó đặc biệt hữu ích khi giải các bài toán đếm phức tạp.

Cách vẽ sơ đồ hình cây:

Bắt đầu từ một điểm gốc.
Từ điểm gốc, vẽ các nhánh đại diện cho các khả năng có thể xảy ra ở giai đoạn đầu tiên.
Từ mỗi nhánh ở giai đoạn đầu tiên, vẽ các nhánh đại diện cho các khả năng có thể xảy ra ở giai đoạn thứ hai.
Tiếp tục vẽ các nhánh cho đến khi bạn đã liệt kê tất cả các khả năng có thể xảy ra.

Ví dụ: Gieo một đồng xu hai lần liên tiếp. Hãy vẽ sơ đồ hình cây để liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra.

Giải:

Lần gieo thứ nhất: Mặt ngửa (N) hoặc Mặt sấp (S)
Lần gieo thứ hai: Mặt ngửa (N) hoặc Mặt sấp (S)

Sơ đồ hình cây:

Lần 1	Lần 2	Kết quả
N	N	NN
N	S	NS
S	N	SN
S	S	SS

Vậy có 4 kết quả có thể xảy ra: NN, NS, SN, SS.

Bài tập vận dụng

1. Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh đại diện cho lớp?

2. Một cửa hàng có 5 loại bánh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 chiếc bánh khác nhau?

3. Gieo một con xúc xắc hai lần liên tiếp. Hãy vẽ sơ đồ hình cây để liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về quy tắc cộng, quy tắc nhân và sơ đồ hình cây. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.