Bài 3. Phương trình mặt cầu

Bài 3. Phương trình mặt cầu - SGK Toán 12 - Cánh diều: Tổng quan

Trong không gian Oxyz, mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm cách một điểm cố định (gọi là tâm) một khoảng không đổi (gọi là bán kính). Phương trình mặt cầu là công cụ quan trọng để mô tả và nghiên cứu các tính chất của mặt cầu.

1. Phương trình chính tắc của mặt cầu

Phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R được viết như sau:

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

Trong đó:

• (x; y; z) là tọa độ của một điểm bất kỳ trên mặt cầu.
• (a; b; c) là tọa độ của tâm mặt cầu.
• R là bán kính của mặt cầu.

2. Phương trình tổng quát của mặt cầu

Phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng:

x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

Trong đó:

• Tâm của mặt cầu là I(a; b; c).
• Bán kính của mặt cầu là R = √(a² + b² + c² - d).
• Điều kiện để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu là: a² + b² + c² - d > 0.

3. Các dạng bài tập thường gặp

3.1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu từ phương trình

Để xác định tâm và bán kính của mặt cầu từ phương trình, ta cần đưa phương trình về một trong hai dạng chính tắc hoặc tổng quát. Sau đó, áp dụng các công thức tương ứng để tìm ra tọa độ tâm và bán kính.

Ví dụ: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình (x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 4.

Giải:

Từ phương trình, ta có: a = 1, b = -2, c = 3, R² = 4.

Vậy tâm của mặt cầu là I(1; -2; 3) và bán kính là R = 2.

3.2. Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính

Khi biết tọa độ tâm I(a; b; c) và bán kính R, ta có thể viết phương trình mặt cầu bằng cách sử dụng phương trình chính tắc:

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

Ví dụ: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(0; 0; 0) và bán kính R = 5.

Giải:

Phương trình mặt cầu là: x² + y² + z² = 25.

3.3. Xác định phương trình mặt cầu khi biết các yếu tố khác

Một số bài tập yêu cầu xác định phương trình mặt cầu khi biết các yếu tố khác như đường kính, các điểm thuộc mặt cầu, hoặc các điều kiện liên quan đến tâm và bán kính. Trong trường hợp này, ta cần sử dụng các công thức và kỹ năng giải toán để tìm ra phương trình mặt cầu.

4. Bài tập vận dụng

1. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(-1; 2; -3) và bán kính R = 6.
2. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình x² + y² + z² + 2x - 4y + 6z - 11 = 0.
3. Tìm phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(0; 0; 0).

5. Kết luận

Bài học về phương trình mặt cầu là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập sẽ giúp bạn tự tin hơn trong các kỳ thi và ứng dụng kiến thức vào thực tế. Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích và giúp bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này.