Bài 5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện - Giải Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2

I. Khái niệm về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian, góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu của d trên mặt phẳng (P). Để tính góc này, ta thường sử dụng định lý về ba đường vuông góc.

Định lý: Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì mọi đường thẳng nằm trong (P) đều vuông góc với d. Ngược lại, nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P) thì d vuông góc với (P).

Cách tính góc: Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Ta có: sin α = d / d', trong đó d là độ dài đoạn thẳng d và d' là độ dài hình chiếu của d trên (P).

II. Khái niệm về góc nhị diện

Góc nhị diện là góc tạo bởi hai nửa mặt phẳng có chung một đường thẳng. Đường thẳng chung đó gọi là cạnh của góc nhị diện. Góc nhị diện được đo bằng góc giữa hai đường thẳng vuông góc với cạnh của góc nhị diện, nằm trong hai nửa mặt phẳng.

Cách tính góc nhị diện: Gọi φ là góc nhị diện. Để tính φ, ta thường sử dụng các phương pháp sau:

• Phương pháp hình chiếu: Chiếu một trong hai nửa mặt phẳng lên một mặt phẳng vuông góc với cạnh của góc nhị diện.
• Phương pháp sử dụng vector: Tính cosin của góc nhị diện bằng tích vô hướng của hai vector pháp tuyến của hai nửa mặt phẳng.

Công thức: cos φ = (n1 . n2) / (| n1 | | n2 |), trong đó n1 và n2 là vector pháp tuyến của hai nửa mặt phẳng.

III. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).

Giải: Vì SA vuông góc với (ABCD) nên góc giữa SA và (ABCD) bằng 90 độ.

Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau tại đường thẳng d. Trên (P) có điểm A, trên (Q) có điểm B sao cho AB = a và góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 60 độ. Tính khoảng cách từ A đến (Q).

Giải: Gọi H là hình chiếu của A lên (Q). Khi đó, AH là khoảng cách từ A đến (Q). Ta có: sin 60° = AH / AB => AH = AB * sin 60° = a * √3 / 2.

IV. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị diện, các em cần luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Montoan.com.vn cung cấp hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp các em rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong các kỳ thi.

Các em có thể tìm thấy các bài tập liên quan đến:

• Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong các hình chóp, hình lăng trụ.
• Xác định góc nhị diện của các hình đa diện.
• Ứng dụng các khái niệm về góc để giải quyết các bài toán thực tế.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!