Bài 1 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Bài 1 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 1 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo. Bài học này thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp lời giải bài tập Toán 11 đầy đủ, chính xác và dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Cho tứ diện đều (ABCD). Vẽ hình bình hành (BCED).
Đề bài
Cho tứ diện đều \(ABCD\). Vẽ hình bình hành \(BCED\).
a) Tìm góc giữa đường thẳng \(AB\) và \(\left( {BCD} \right)\).
b) Tim góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,CD,B} \right];\left[ {A,CD,E} \right]\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.
‒ Cách xác định góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,d,B} \right]\): Dựng mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(d\), gọi \(a,a'\) lần lượt là giao tuyến của \(\left( P \right)\) với hai nửa mặt phẳng chứa \(A,B\), khi đó \(\left[ {A,d,B} \right] = \left( {a,a'} \right)\).
Lời giải chi tiết
a) Giả sử tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng \(a\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\), \(O\) là tâm của \(\Delta BC{\rm{D}}\)
\( \Rightarrow AO \bot \left( {BC{\rm{D}}} \right)\)
\( \Rightarrow \left( {AB,\left( {BC{\rm{D}}} \right)} \right) = \left( {AB,OB} \right) = \widehat {ABO}\)
\(BI\) là trung tuyến của tam giác đều \(BC{\rm{D}}\)
\( \Rightarrow BI = \frac{{BC\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BO = \frac{2}{3}BI = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\(\cos \widehat {ABO} = \frac{{BO}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \widehat {ABO} \approx 54,{7^ \circ }\)
Vậy \(\left( {AB,\left( {BC{\rm{D}}} \right)} \right) \approx 54,{7^ \circ }\)
b) \(\Delta AC{\rm{D}}\) đều \( \Rightarrow AI \bot C{\rm{D}}\)
\(\Delta BC{\rm{D}}\) đều \( \Rightarrow BI \bot C{\rm{D}}\)
Vậy \(\widehat {AIB}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,C{\rm{D}},B} \right]\).
\(OI = \frac{1}{3}BI = \frac{{a\sqrt 3 }}{6},AO = \sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
\(\tan \widehat {AIB} = \frac{{AO}}{{OI}} = 2\sqrt 2 \Rightarrow \widehat {AIB} \approx 70,{5^ \circ }\)
\(\Delta AC{\rm{D}}\) đều \( \Rightarrow AI \bot C{\rm{D}}\)
\(\Delta EC{\rm{D}}\) đều \( \Rightarrow EI \bot C{\rm{D}}\)
Vậy \(\widehat {AIE}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,C{\rm{D}},B} \right]\).
\(\widehat {AIE} = {180^ \circ } - \widehat {AIB} = 109,{5^ \circ }\)
Bài 1 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và hướng dẫn
Bài 1 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này thường liên quan đến việc tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm, và xác định các điểm cực trị của hàm số.
Nội dung bài tập
Bài 1 thường bao gồm các hàm số khác nhau, yêu cầu học sinh thực hiện các thao tác sau:
- Tính đạo hàm: Xác định đạo hàm của hàm số đã cho.
- Xét dấu đạo hàm: Phân tích dấu của đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Tìm cực trị: Xác định các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
- Khảo sát hàm số: Vẽ đồ thị hàm số dựa trên các thông tin đã tìm được.
Lời giải chi tiết
Để giải Bài 1 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Tính đạo hàm f'(x) của hàm số f(x). Sử dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản như đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, và đạo hàm của hàm hợp.
- Bước 2: Tìm các điểm dừng của hàm số. Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các giá trị x mà tại đó đạo hàm bằng 0.
- Bước 3: Lập bảng biến thiên. Xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định bởi các điểm dừng.
- Bước 4: Kết luận về tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Dựa vào bảng biến thiên, xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực đại, và cực tiểu của hàm số.
Ví dụ minh họa
Giả sử hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính đạo hàm: f'(x) = 3x2 - 6x
Bước 2: Tìm điểm dừng: 3x2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Bước 3: Lập bảng biến thiên:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Bước 4: Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2). Hàm số đạt cực đại tại x = 0 với giá trị f(0) = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị f(2) = -2.
Lưu ý khi giải bài tập
- Nắm vững các quy tắc đạo hàm cơ bản.
- Kiểm tra kỹ các bước tính toán để tránh sai sót.
- Vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra lại kết quả.
- Luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải bài tập.
Ứng dụng của đạo hàm
Đạo hàm có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:
- Tìm cực trị của hàm số: Xác định các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số, giúp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
- Khảo sát hàm số: Phân tích tính chất của hàm số, như tính đơn điệu, giới hạn, và đồ thị.
- Giải các bài toán tối ưu: Tìm giá trị tối ưu của một đại lượng nào đó, ví dụ như tìm kích thước tối ưu của một hình hộp để chứa được thể tích lớn nhất.
- Tính vận tốc và gia tốc: Trong vật lý, đạo hàm của quãng đường theo thời gian là vận tốc, và đạo hàm của vận tốc theo thời gian là gia tốc.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 1 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo và tự tin hơn trong quá trình học tập. Chúc các em học tốt!
