THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 12 trang 87 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo. Bài học này thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào các kiến thức về phép vị tự.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải bài tập Toán 11 đầy đủ, chính xác, giúp các em hiểu rõ kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.
Một chân cột bằng gang có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng \(2a\)
Đề bài
Một chân cột bằng gang có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng \(2a\), cạnh đáy nhỏ bằng \(a\), chiều cao \(h = 2a\) và bán kính đáy phần trụ rỗng bên trong bằng \(\frac{a}{2}\).
a) Tìm góc phẳng nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.
b) Tính thể tích chân cột nói trên theo \(a\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Cách xác định góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,d,B} \right]\): Dựng mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(d\), gọi \(a,a'\) lần lượt là giao tuyến của \(\left( P \right)\) với hai nửa mặt phẳng chứa \(A,B\), khi đó \(\left[ {A,d,B} \right] = \left( {a,a'} \right)\).
‒ Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp cụt đều: \(V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS'} + S'} \right)\).
‒ Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ: \(V = \pi {R^2}h\).
Lời giải chi tiết
Mô hình hoá chân cột bằng gang bằng cụt chóp tứ giác đều \(ABCD.A'B'C'D'\) với \(O,O'\) là tâm của hai đáy. Vậy \(AB = 2{\rm{a}},A'B' = a,OO' = 2a\).
Gọi \(M,M'\) lần lượt là trung điểm của \(CD,C'D'\).
\(A'B'C'{\rm{D}}'\) là hình vuông \( \Rightarrow O'M' \bot C'{\rm{D}}'\)
\(CDD'C'\) là hình thang cân \( \Rightarrow MM' \bot C'D'\)
Vậy \(\widehat {MM'O'}\) là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy nhỏ, \(\widehat {M'MO}\) là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy lớn.
Kẻ \(M'H \bot OM\left( {H \in OM} \right)\)
\(OMM'O'\) là hình chữ nhật
\( \Rightarrow OH = O'M' = \frac{a}{2},OM = a,MH = OM - OH = \frac{{\rm{a}}}{2}\)
\(\begin{array}{l}\tan \widehat {M'MO} = \frac{{M'H}}{{MH}} = 4\\ \Rightarrow \widehat {M'MO} = 75,{96^ \circ } \Rightarrow \widehat {MM'O'} = {180^ \circ } - \widehat {M'MO} = 104,{04^ \circ }\end{array}\)
b) Diện tích đáy lớn là: \(S = A{B^2} = 4{{\rm{a}}^2}\)
Diện tích đáy bé là: \(S' = A'B{'^2} = {a^2}\)
Thể tích hình chóp cụt là: \({V_1} = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS'} + S'} \right) = \frac{1}{3}.2a\left( {4{{\rm{a}}^2} + \sqrt {4{{\rm{a}}^2}.{a^2}} + {a^2}} \right) = \frac{{14{{\rm{a}}^3}}}{3}\)
Thể tích hình trụ rỗng là: \({V_2} = \pi {R^2}h = \pi .{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}.2{\rm{a}} = \frac{{\pi {a^3}}}{2}\)
Thể tích chân cột là: \(V = {V_1} - {V_2} = \left( {\frac{{14}}{3} - \frac{\pi }{2}} \right){a^3}\).
Bài 12 trang 87 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về phép vị tự. Để giải bài tập này, các em cần nắm vững định nghĩa, tính chất và ứng dụng của phép vị tự trong hình học.
Bài tập yêu cầu chúng ta thực hiện các phép vị tự trên các hình hình học cụ thể, xác định ảnh của các điểm và đường thẳng qua phép vị tự. Để làm được điều này, các em cần xác định đúng tâm vị tự và tỉ số vị tự.
Ví dụ 1: Cho điểm A(1; 2) và phép vị tự V(O; k) với O là gốc tọa độ và k = 2. Tìm ảnh A' của điểm A qua phép vị tự V.
Giải:
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x + y - 1 = 0 và phép vị tự V(O; -1). Tìm ảnh d' của đường thẳng d qua phép vị tự V.
Giải:
Ngoài các ví dụ trên, bài tập về phép vị tự còn có thể xuất hiện ở nhiều dạng khác nhau, như:
Để giải bài tập về phép vị tự một cách hiệu quả, các em nên:
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, các em có thể tự giải các bài tập sau:
Bài 12 trang 87 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về phép vị tự và ứng dụng của nó trong hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em sẽ giải bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc các em học tốt!
Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán. Hãy truy cập website của chúng tôi để xem thêm nhiều bài giải và tài liệu học tập hữu ích khác.
