Lý thuyết Phép tính lôgarit - Toán 11 Chân trời sáng tạo
Lý thuyết Phép tính Lôgarit - Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Phép tính Lôgarit trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo tại montoan.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về các khái niệm, tính chất và ứng dụng của phép tính lôgarit.
Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những kiến thức toán học được trình bày một cách dễ hiểu, logic và có tính ứng dụng cao, giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
1. Khái niệm lôgarit Cho hai số thực dương a, b với \(a \ne 1\). Số thực \(\alpha \) thỏa mãn đẳng thức \({a^\alpha } = b\) được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là \({\log _a}b\).
1. Khái niệm lôgarit
Cho hai số thực dương a, b với \(a \ne 1\). Số thực \(\alpha \) thỏa mãn đẳng thức \({a^\alpha } = b\) được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là \({\log _a}b\).
\(\alpha = {\log _a}b \Leftrightarrow {a^\alpha } = b\).
Chú ý:
Từ định nghĩa, ta có:
- \({\log _a}1 = 0;\,\,\,{\log _a}a = 1;\,\,{\log _a}{a^b} = b;\,\,\,{a^{{{\log }_a}b}} = b\).
- \({\log _{10}}b\) được viết là \(\log b\) hoặc \(\lg b\);
- \({\log _e}b\) được viết là \(\ln b\).
2. Tính chất
Với \(a > 0,a \ne 1,M > 0,N > 0\), ta có:
- \({\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N\) (lôgarit của một tích)
- \({\log _a}\left( {\frac{M}{N}} \right) = {\log _a}M - {\log _a}N\) (lôgarit của một thương)
- \({\log _a}{M^\alpha } = \alpha {\log _a}M\,\left( {\alpha \in \mathbb{R}} \right)\) (lôgarit của một lũy thừa)
Chú ý: Đặc biệt, ta có:
- \({\log _a}\frac{1}{N} = - {\log _a}N;\)
- \({\log _a}\sqrt[n]{M} = \frac{1}{n}{\log _a}M\) với \(n \in \mathbb{N}*\).
3. Công thức đổi cơ số
Cho các số dương a, b, N, \(a \ne 1,b \ne 1\), ta có:
\({\log _a}N = \frac{{{{\log }_b}N}}{{{{\log }_b}a}}\).
Đặc biệt, ta có:
\({\log _a}N = \frac{1}{{{{\log }_N}a}}\left( {N \ne 1} \right)\); \({\log _{{a^\alpha }}}N = \frac{1}{\alpha }{\log _a}N\left( {\alpha \ne 0} \right)\).
Lý thuyết Phép tính Lôgarit - Toán 11 Chân trời sáng tạo
Phép tính lôgarit là một trong những khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 11, đặc biệt là trong chương trình Chân trời sáng tạo. Nó đóng vai trò nền tảng cho nhiều kiến thức toán học nâng cao hơn, cũng như có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật.
1. Định nghĩa Lôgarit
Lôgarit của một số dương b (với b ≠ 1) cơ số a (với a > 0 và a ≠ 1) là số x sao cho ax = b. Ký hiệu: x = logab.
- a là cơ số của lôgarit.
- b là số bị lôgarit (cũng được gọi là đối số).
- x là giá trị của lôgarit.
2. Điều kiện tồn tại của Lôgarit
Lôgarit logab tồn tại khi và chỉ khi a > 0, a ≠ 1 và b > 0.
3. Các Tính chất Cơ bản của Lôgarit
- Lôgarit của tích:loga(xy) = logax + logay (với x > 0, y > 0)
- Lôgarit của thương:loga(x/y) = logax - logay (với x > 0, y > 0)
- Lôgarit của lũy thừa:loga(xn) = n logax (với x > 0, n là số thực)
- Đổi cơ số lôgarit:logab = logcb / logca (với a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)
4. Lôgarit Cơ số 10 và Lôgarit Tự nhiên
Lôgarit thập phân (cơ số 10):log10x thường được ký hiệu đơn giản là log x.
Lôgarit tự nhiên (cơ số e):logex thường được ký hiệu là ln x, trong đó e là số Euler (e ≈ 2.71828).
5. Phương trình Lôgarit Cơ bản
Phương trình lôgarit cơ bản có dạng logax = b, với điều kiện a > 0, a ≠ 1, x > 0. Nghiệm của phương trình là x = ab.
6. Bất phương trình Lôgarit Cơ bản
Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng logax > b hoặc logax < b, với điều kiện a > 0, a ≠ 1, x > 0.
- Nếu a > 1:
- logax > b ⇔ x > ab
- logax < b ⇔ 0 < x < ab
- Nếu 0 < a < 1:
- logax > b ⇔ 0 < x < ab
- logax < b ⇔ x > ab
7. Ứng dụng của Lôgarit
Lôgarit có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:
- Tính toán khoa học: Đo cường độ âm thanh, độ pH, độ Richter (độ mạnh của động đất).
- Tài chính: Tính lãi kép, thời gian để tiền đầu tư tăng gấp đôi.
- Sinh học: Mô tả tốc độ tăng trưởng của vi khuẩn, thời gian bán rã của chất phóng xạ.
- Tin học: Phân tích độ phức tạp của thuật toán.
8. Bài tập Vận dụng
Để hiểu rõ hơn về lý thuyết phép tính lôgarit, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Dưới đây là một số ví dụ:
| Bài tập | Giải |
|---|---|
| Tính log28 | log28 = 3 vì 23 = 8 |
| Giải phương trình log3x = 2 | x = 32 = 9 |
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết phép tính lôgarit trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
