THCS
THCS
Bài 3 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến phép biến hóa affine. Bài tập này đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về vector, ma trận và các phép biến đổi hình học.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 3 trang 120, giúp các em học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề.
Cho hai hình vuông \(ABCD\) và \(ABEF\) ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo \(AC\) và \(BF\) lần lượt lấy các điểm \(M,N\) sao cho \(AM = BN\). Các đường thẳng song song với \(AB\) vẽ từ \(M,N\) lần lượt cắt \(AD,AF\) tại \(M',N'\).
Đề bài
Cho hai hình vuông \(ABCD\) và \(ABEF\) ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo \(AC\) và \(BF\) lần lượt lấy các điểm \(M,N\) sao cho \(AM = BN\). Các đường thẳng song song với \(AB\) vẽ từ \(M,N\) lần lượt cắt \(AD,AF\) tại \(M',N'\).
a) Chứng minh \(\left( {CBE} \right)\parallel \left( {ADF} \right)\).
b) Chứng minh \(\left( {DEF} \right)\parallel \left( {MNN'M'} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng định lí Thalès trong tam giác.
‒ Sử dụng định lí 1: Nếu mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai đường thẳng \(a,b\) cắt nhau và hai đường thẳng đó cùng song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì \(\left( P \right)\) song song với \(\left( Q \right)\).
Lời giải chi tiết
a) \(ABC{\rm{D}}\) là hình vuông \( \Rightarrow AD\parallel BC\)
Mà \(A{\rm{D}} \subset \left( {ADF} \right)\)
\( \Rightarrow BC\parallel \left( {A{\rm{D}}F} \right)\)
\(ABC{\rm{D}}\) là hình vuông \( \Rightarrow AF\parallel BE\)
Mà \(A{\rm{F}} \subset \left( {ADF} \right)\)
\( \Rightarrow BE\parallel \left( {A{\rm{D}}F} \right)\)
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}BC\parallel \left( {A{\rm{D}}F} \right)\\BE\parallel \left( {A{\rm{D}}F} \right)\\BC,BE \subset \left( {CBE} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {CBE} \right)\parallel \left( {A{\rm{D}}F} \right)\)
b) Do \(ABCD\) và \(ABEF\) là hai hình vuông có chung cạnh \(AB\) nên các đường chéo \(AC,BF\) bằng nhau.
Theo đề bài ta có: \(AM = BN\)
\( \Rightarrow \)\(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BF}}\)
Ta có:
\(MM'\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AM'}}{{A{\rm{D}}}}\)
\(NN'\parallel AB \Rightarrow \frac{{BN}}{{BF}} = \frac{{AN'}}{{AF}}\)
\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AM'}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{AN'}}{{AF}} \Rightarrow M'N'\parallel DF\\M'N' \subset \left( {MNN'M'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow DF\parallel \left( {MNN'M'} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}NN'\parallel EF\\{\rm{NN}}' \subset \left( {MNN'M'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow EF\parallel \left( {MNN'M'} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}DF\parallel \left( {MNN'M'} \right)\\EF\parallel \left( {MNN'M'} \right)\\C{\rm{D}},DF \subset \left( {DEF} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {DEF} \right)\parallel \left( {MNN'M'} \right)\)
Bài 3 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về phép biến hóa affine. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, trước tiên chúng ta cần hiểu rõ định nghĩa và các tính chất của phép biến hóa affine.
1. Phép biến hóa affine:
2. Ma trận biểu diễn phép biến hóa affine:
Ma trận biểu diễn phép biến hóa affine có dạng:
| Cột 1 | Cột 2 | |
|---|---|---|
| Hàng 1 | a11 | a12 |
| Hàng 2 | a21 | a22 |
trong đó aij là các phần tử của ma trận tuyến tính A.
Để giải Bài 3 trang 120, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Ví dụ: Giả sử chúng ta có một phép biến hóa affine f(x) = Ax + b, với A = [[2, 1], [1, 3]] và b = [[1], [2]]. Hãy tìm ảnh của điểm M(3, 4) qua phép biến hóa f.
Giải:
Để tìm ảnh của điểm M(3, 4) qua phép biến hóa f, chúng ta thực hiện phép nhân ma trận:
[[2, 1], [1, 3]] * [[3], [4]] + [[1], [2]] = [[10], [15]] + [[1], [2]] = [[11], [17]]
Vậy, ảnh của điểm M(3, 4) qua phép biến hóa f là M'(11, 17).
Để nắm vững kiến thức về phép biến hóa affine và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, các em học sinh có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo và các tài liệu tham khảo khác. Việc thực hành giải nhiều bài tập sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về bản chất của bài toán và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Ngoài ra, các em có thể tìm kiếm sự hỗ trợ từ các giáo viên, bạn bè hoặc các trang web học toán online uy tín như montoan.com.vn để được giải đáp thắc mắc và hướng dẫn giải bài tập.
Bài 3 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức lý thuyết và kỹ năng giải bài tập. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trên đây, các em học sinh sẽ giải quyết bài tập này một cách hiệu quả và đạt kết quả tốt trong học tập.
