Chương 4 Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Chương 4 của sách Toán 11 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc xây dựng nền tảng lý thuyết và phương pháp giải quyết các bài toán liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ba chiều. Đây là một phần quan trọng của chương trình Hình học không gian, đặt nền móng cho các kiến thức phức tạp hơn ở các lớp trên.

I. Các khái niệm cơ bản

Để hiểu rõ về quan hệ song song, trước tiên chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản:

• Đường thẳng: Một đường thẳng được xác định bởi một điểm và một hướng.
• Mặt phẳng: Một mặt phẳng được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng.
• Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Một vectơ song song với đường thẳng đó.
• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Một vectơ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

II. Quan hệ song song giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung và không đồng phẳng. Điều kiện để hai đường thẳng d₁ và d₂ song song là:

a) Vectơ chỉ phương của d₁ và d₂ cùng phương.

b)d₁ và d₂ không đồng phẳng.

III. Quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng

Một đường thẳng và một mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung. Điều kiện để đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) là:

a) Đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P).

b) Vectơ chỉ phương của d vuông góc với vectơ pháp tuyến của (P).

IV. Quan hệ song song giữa hai mặt phẳng

Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung. Điều kiện để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song là:

Vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) cùng phương.

V. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho hai đường thẳng d₁: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và d₂: x = 2 - s, y = 1 + s, z = 4 - s. Chứng minh rằng d₁ và d₂ song song.

Giải:

Vectơ chỉ phương của d₁ là a = (1, -1, 2).

Vectơ chỉ phương của d₂ là b = (-1, 1, -1).

Ta thấy a = -b, do đó a và b cùng phương. Kiểm tra xem d₁ và d₂ có đồng phẳng hay không. Chọn một điểm trên d₁, ví dụ A(1, 2, 3). Tính vectơ AB từ A đến một điểm trên d₂, ví dụ B(2, 1, 4). AB = (1, -1, 1). Kiểm tra xem AB có cùng phương với a hoặc b hay không. Vì AB không cùng phương với a và b, nên d₁ và d₂ không đồng phẳng. Vậy d₁ và d₂ song song.

VI. Ứng dụng thực tế

Kiến thức về quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng có ứng dụng rộng rãi trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực như kiến trúc, xây dựng, kỹ thuật, và đồ họa máy tính. Ví dụ, trong kiến trúc, việc đảm bảo các bức tường song song với nhau là rất quan trọng để đảm bảo tính thẩm mỹ và độ bền của công trình. Trong đồ họa máy tính, việc xác định các mặt phẳng song song giúp tạo ra các hình ảnh 3D chân thực.

VII. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về Chương 4, bạn nên:

• Đọc kỹ sách giáo khoa và tài liệu tham khảo.
• Làm đầy đủ các bài tập trong sách bài tập.
• Tìm hiểu thêm các bài toán nâng cao và các ứng dụng thực tế.
• Tham gia các diễn đàn học tập trực tuyến để trao đổi kiến thức và kinh nghiệm với bạn bè.

montoan.com.vn hy vọng rằng với những kiến thức và bài tập được cung cấp, bạn sẽ học tập hiệu quả và đạt kết quả tốt trong môn Toán 11!