Bài 4 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 4 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 4 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến phép biến hình. Bài tập này đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về các phép biến hình cơ bản như phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và rèn luyện kỹ năng giải toán. Chúng tôi luôn cập nhật nhanh chóng và chính xác đáp án các bài tập trong SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo.
Cho tứ diện (ABCD) và điểm (M) thuộc cạnh (AB). Gọi (left( alpha right)) là mặt phẳng qua (M), song song với hai đường thẳng (BC) và (AD). Gọi (N,P,Q) lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (left( alpha right)) với các cạnh (AC,CD) và (DB).
Đề bài
Cho tứ diện \(ABCD\) và điểm \(M\) thuộc cạnh \(AB\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \(M\), song song với hai đường thẳng \(BC\) và \(AD\). Gọi \(N,P,Q\) lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) với các cạnh \(AC,CD\) và \(DB\).
a) Chứng minh \(MNPQ\) là hình bình hành.
b) Trong trường hợp nào thì \(MNPQ\) là hình thoi?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng định lí 2: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}MN = \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right)\\PQ = \left( \alpha \right) \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\BC = \left( {ABC} \right) \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\MN\parallel BC\end{array}\)
Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: \(MN\parallel PQ\parallel BC\) (1).
\(\begin{array}{l}MQ = \left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right)\\NP = \left( \alpha \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right)\\A{\rm{D}} = \left( {ABD} \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right)\\MQ\parallel A{\rm{D}}\end{array}\)
Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: \(MQ\parallel NP\parallel A{\rm{D}}\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(MNPQ\) là hình bình hành.
b) Để \(MNPQ\) là hình thoi thì \(MN = NP\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}MN\parallel BC \Rightarrow \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{AC}}\\NP\parallel A{\rm{D}} \Rightarrow \frac{{NP}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{CN}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{MN}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{CN}}{{AC}}\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{AN}}{{AC}} + \frac{{CN}}{{AC}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{MN}}{{BC}} + \frac{{MN}}{{A{\rm{D}}}} = 1 \Leftrightarrow MN.\left( {\frac{1}{{BC}} + \frac{1}{{A{\rm{D}}}}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow MN.\frac{{BC + A{\rm{D}}}}{{BC.A{\rm{D}}}} = 1 \Leftrightarrow MN = \frac{{BC.A{\rm{D}}}}{{BC + A{\rm{D}}}}\end{array}\)
Vậy nếu \(MN = \frac{{BC.A{\rm{D}}}}{{BC + A{\rm{D}}}}\) thì \(MNPQ\) là hình thoi.
Bài 4 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và hướng dẫn
Bài 4 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về phép biến hình. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm và tính chất của các phép biến hình cơ bản.
Nội dung bài tập
Bài 4 yêu cầu học sinh thực hiện các phép biến hình trên một hình cho trước, xác định ảnh của các điểm và đường thẳng sau khi thực hiện phép biến hình. Bài tập thường bao gồm các phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm.
Phương pháp giải
Để giải bài tập này, học sinh có thể áp dụng các phương pháp sau:
- Xác định phép biến hình: Xác định rõ loại phép biến hình được yêu cầu thực hiện (tịnh tiến, quay, đối xứng trục, đối xứng tâm).
- Xác định các yếu tố của phép biến hình: Xác định các yếu tố cần thiết để xác định phép biến hình, ví dụ như vectơ tịnh tiến, tâm quay, trục đối xứng, tâm đối xứng.
- Áp dụng công thức biến hình: Sử dụng công thức biến hình tương ứng để tính toán tọa độ của ảnh sau khi thực hiện phép biến hình.
- Kiểm tra kết quả: Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Ví dụ minh họa
Ví dụ: Cho điểm A(1; 2) và phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; -1). Tìm ảnh A' của điểm A qua phép tịnh tiến đó.
Giải:
Áp dụng công thức tịnh tiến: A'(x' ; y') = A(x; y) + v(a; b) = (x + a; y + b)
Ta có: A'(1 + 3; 2 - 1) = A'(4; 1)
Vậy, ảnh A' của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; -1) là A'(4; 1).
Các dạng bài tập thường gặp
Ngoài việc tìm ảnh của các điểm và đường thẳng, bài tập về phép biến hình còn có thể xuất hiện ở các dạng sau:
- Xác định phép biến hình: Cho ảnh của một hình và yêu cầu xác định phép biến hình đã thực hiện.
- Chứng minh tính chất: Chứng minh một tính chất liên quan đến phép biến hình.
- Ứng dụng phép biến hình: Sử dụng phép biến hình để giải quyết các bài toán hình học khác.
Lưu ý khi giải bài tập
Khi giải bài tập về phép biến hình, học sinh cần lưu ý những điều sau:
- Nắm vững định nghĩa và tính chất của các phép biến hình cơ bản.
- Hiểu rõ công thức biến hình và cách áp dụng.
- Vẽ hình minh họa để dễ dàng hình dung và kiểm tra kết quả.
- Rèn luyện kỹ năng giải toán thường xuyên để nâng cao khả năng.
Bài tập luyện tập
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về phép biến hình, học sinh có thể thực hiện các bài tập sau:
- Tìm ảnh của điểm B(-2; 3) qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (1; -2).
- Tìm ảnh của điểm C(0; -1) qua phép quay tâm O(0; 0) góc 90 độ.
- Tìm ảnh của đường thẳng d: x + y - 1 = 0 qua phép đối xứng trục Ox.
Montoan.com.vn hy vọng với những hướng dẫn chi tiết và bài tập luyện tập trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải Bài 4 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
