Lý thuyết Giới hạn của dãy số - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

1, Giới hạn hữu hạn của dãy số

a, Giới hạn 0 của dãy số

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.

 Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\) hay \({u_n} \to 0\)khi \(n \to + \infty \) hay \(\lim {u_n} = 0\).

* Chú ý:

+ \(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0,k \in \mathbb{Z}.\)

+ Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\)

b, Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) hay \({u_n} \to a\) khi \(n \to + \infty \).

* Chú ý: Nếu \({u_n} = c\)(c là hằng số) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = c\)

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số

Cho \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = b\) và c là hằng số thì

• \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n} \pm {v_n}) = a \pm b\)
• \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (c.{u_n}) = c.a\\\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n}.{v_n}) = a.b\end{array}\)
• \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)\)
• Nếu \({u_n} \ge 0\) thì với mọi n và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) thì \(a \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \)

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội q thỏa mãn \(\left| q \right| < 1\) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:

\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\left( {\left| q \right| < 1} \right)\)

4. Giới hạn vô cực

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)được gọi là có giới hạn \( + \infty \)khi \(n \to + \infty \)nếu \({u_n}\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = + \infty \) hay \({u_n} \to + \infty \) khi \(n \to + \infty \).

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn \( - \infty \)khi \(n \to + \infty \) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {u_n}} \right) = + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = - \infty \) hay \({u_n} \to - \infty \) khi \(n \to + \infty \).

* Chú ý:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = + \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ( - {u_n}) = - \infty \)
• Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = + \infty \)(hoặc\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = - \infty \)) thì \(\lim \frac{1}{{{u_n}}} = 0\).
• Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = 0,{u_n} > 0\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {v_n} = 0,\forall n\)thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = + \infty \).

*Nhận xét:

\(\begin{array}{l}a,\lim {n^k} = + \infty ,k \in \mathbb{N},k \ge 1.\\b,\lim {q^n} = + \infty ;q \in \mathbb{R},q > 1.\end{array}\)