Bài 2 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Bài 2 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Phân tích chi tiết và hướng dẫn giải

Bài 2 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị của hàm số.

Nội dung bài tập

Bài 2 thường bao gồm các dạng bài tập sau:

Tính đạo hàm của hàm số.
Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số.
Xác định các điểm cực trị của hàm số.
Khảo sát hàm số bằng đạo hàm.

Hướng dẫn giải chi tiết

Để giải bài tập này một cách hiệu quả, bạn cần thực hiện các bước sau:

Xác định hàm số cần khảo sát.
Tính đạo hàm cấp nhất của hàm số.
Tìm các điểm mà đạo hàm cấp nhất bằng 0 hoặc không xác định.
Xác định dấu của đạo hàm cấp nhất trên các khoảng xác định để xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số.
Xác định các điểm cực trị của hàm số bằng cách xét dấu của đạo hàm cấp hai.
Vẽ đồ thị hàm số để minh họa kết quả.

Ví dụ minh họa

Giả sử chúng ta có hàm số y = x³ - 3x² + 2. Để giải bài tập này, chúng ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm cấp nhất: y' = 3x² - 6x.
Tìm các điểm mà đạo hàm cấp nhất bằng 0: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2.
Xác định dấu của đạo hàm cấp nhất trên các khoảng xác định:

Trên khoảng (-∞, 0), y' > 0 => hàm số đồng biến.
Trên khoảng (0, 2), y' < 0 => hàm số nghịch biến.
Trên khoảng (2, +∞), y' > 0 => hàm số đồng biến.

Tính đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 6.
Xác định các điểm cực trị:

Tại x = 0, y'' = -6 < 0 => hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Tại x = 2, y'' = 6 > 0 => hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.

Lưu ý quan trọng

Khi giải bài tập về đạo hàm, bạn cần chú ý các điểm sau:

Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm.
Kiểm tra kỹ các điều kiện xác định của hàm số.
Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm toán học để kiểm tra kết quả.

Ứng dụng của đạo hàm

Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Tìm cực trị của hàm số.
Khảo sát hàm số.
Giải các bài toán tối ưu hóa.
Tính vận tốc và gia tốc trong vật lý.

Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn có thể làm thêm các bài tập sau:

Bài 1 trang 50 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo.
Bài 3 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo.
Các bài tập tương tự trong các sách bài tập Toán 11.

Kết luận

Bài 2 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp bạn hiểu rõ hơn về đạo hàm và ứng dụng của nó. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ tự tin giải quyết bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.