Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chào mừng bạn đến với chuyên mục Lý thuyết Dãy số của chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo tại montoan.com.vn. Chúng tôi cung cấp kiến thức nền tảng vững chắc, giúp bạn hiểu rõ các khái niệm, định lý và ứng dụng của dãy số trong toán học.

Với phương pháp trình bày dễ hiểu, bài giảng được thiết kế khoa học, bạn sẽ dễ dàng tiếp thu và vận dụng kiến thức vào giải bài tập.

1. Định nghĩa dãy số

1. Định nghĩa dãy số

Dãy số vô hạn

- Hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương \({\mathbb{N}^*}\)được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), nghĩa là

\(u:{\mathbb{N}^*} \to \mathbb{R}\)

\(n \mapsto {u_n} = u\left( n \right)\)

Dãy số trên được kí hiệu là \(\left( {{u_n}} \right)\).

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)được viết dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_n},...\)

- Số \({u_1}\) là số hạng đầu; \({u_n}\)là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

*Chú ý: Nếu \(\forall n \in {\mathbb{N}^*},{u_n} = c\)thì \(\left( {{u_n}} \right)\)được gọi là dãy số không đổi.

Dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập \(M = \left\{ {1;2;3;...;m} \right\},m \in {\mathbb{N}^*}\) được gọi là một dãy số hữu hạn.Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_m}\).

Trong đó, số \({u_1}\) gọi là số hạng đầu, \({u_m}\)là số hạng cuối.

2. Cách cho một dãy số

Một dãy số có thể cho bằng:

Liệt kê các số hạng (với các dãy hữu hạn).
Công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\).
Phương pháp truy hồi:

- Cho số hạng thứ nhất \({u_1}\) (hoặc một vài số hạng đầu tiên)

- Cho một công thức tính \({u_n}\) theo\({u_{n - 1}}\) (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).

Phương pháp mô tả.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \({u_{n + 1}} > {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \({u_{n + 1}} < {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

4. Dãy số bị chặn

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu \(\exists \) số M sao cho \({u_n} \le M,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu \(\exists \) số m sao cho \({u_n} \ge m,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho \(m \le {u_n} \le M,\)\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo 1

Bạn đang khám phá nội dung Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo trong chuyên mục Bài tập Toán lớp 11 trên nền tảng toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập lý thuyết toán thpt này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 11 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho các kỳ thi quan trọng và chương trình đại học.

Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:

Facebook: MÔN TOÁN

Email: montoanmath@gmail.com

Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Dãy số là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán học, đặc biệt là ở lớp 11. Việc nắm vững lý thuyết dãy số không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán cụ thể mà còn là nền tảng cho việc học các kiến thức nâng cao hơn trong các môn học khác.

1. Khái niệm dãy số

Một dãy số là một hàm số u được xác định trên tập hợp các số tự nhiên khác 0 (hoặc một tập con của tập hợp này). Mỗi số hạng của dãy số được ký hiệu là u_n, trong đó n là chỉ số của số hạng đó.

2. Các loại dãy số thường gặp

Dãy số hữu hạn: Dãy số có số lượng hữu hạn các số hạng. Ví dụ: 1, 2, 3, 4, 5.
Dãy số vô hạn: Dãy số có số lượng vô hạn các số hạng. Ví dụ: 1, 2, 3, 4, ...
Dãy số tăng: Dãy số mà mỗi số hạng lớn hơn số hạng đứng trước nó.
Dãy số giảm: Dãy số mà mỗi số hạng nhỏ hơn số hạng đứng trước nó.
Dãy số không đổi: Dãy số mà tất cả các số hạng bằng nhau.

3. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi d, gọi là công sai. Công thức tổng quát của cấp số cộng là: u_n = u₁ + (n-1)d.

Các tính chất của cấp số cộng:

u_n = (u₁ + u_n)/2
Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: S_n = n(u₁ + u_n)/2

4. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, bằng số hạng đứng trước nó nhân với một số không đổi q, gọi là công bội. Công thức tổng quát của cấp số nhân là: u_n = u₁q^n-1.

Các tính chất của cấp số nhân:

u_n = √(u_ku_l) (với k + l = n)
Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:
- Nếu q = 1: S_n = nu₁
- Nếu q ≠ 1: S_n = u₁(1 - qⁿ)/(1 - q)

5. Giới hạn của dãy số

Giới hạn của dãy số là giá trị mà các số hạng của dãy số tiến tới khi n tiến tới vô cùng. Ký hiệu: lim u_n = L.

Các loại giới hạn:

Giới hạn hữu hạn: lim u_n = L (L là một số thực).
Giới hạn vô cùng: lim u_n = +∞ hoặc lim u_n = -∞.

6. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3.

Giải:u₁₀ = u₁ + (10-1)d = 2 + 9*3 = 29

Ví dụ 2: Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = 2.

Giải:S₂₀ = u₁(1 - q²⁰)/(1 - q) = 1(1 - 2²⁰)/(1 - 2) = 2²⁰ - 1 = 1048575

7. Ứng dụng của lý thuyết dãy số

Lý thuyết dãy số có nhiều ứng dụng trong thực tế, như:

Tính lãi kép trong ngân hàng.
Mô tả sự tăng trưởng dân số.
Tính toán các khoản đầu tư.
Phân tích các hiện tượng tự nhiên.

Hy vọng với những kiến thức về lý thuyết dãy số - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo này, bạn sẽ có thêm công cụ để giải quyết các bài toán và hiểu sâu hơn về môn Toán.