Bài 1. Đạo hàm

Bài 1. Đạo hàm - SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và đầy đủ

Bài 1. Đạo hàm là nền tảng quan trọng trong chương trình Toán 11, mở đầu cho việc nghiên cứu về đạo hàm hàm số. Đạo hàm đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi, tối ưu hóa và nhiều ứng dụng thực tế khác.

1. Khái niệm đạo hàm

Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x₀, ký hiệu là f'(x₀), là giới hạn của tỷ số giữa độ biến thiên của hàm số và độ biến thiên của đối số khi độ biến thiên của đối số tiến tới 0 (nếu giới hạn này tồn tại). Công thức:

f'(x₀) = lim_Δx→0 [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm f'(x₀) biểu diễn hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ x₀. Điều này có nghĩa là đạo hàm cho ta biết độ dốc của đường cong tại một điểm cụ thể.

3. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

Trong vật lý, đạo hàm thường được sử dụng để biểu diễn vận tốc (đạo hàm của quãng đường theo thời gian) và gia tốc (đạo hàm của vận tốc theo thời gian). Ví dụ, nếu s(t) là hàm biểu diễn quãng đường đi được của một vật tại thời điểm t, thì v(t) = s'(t) là vận tốc của vật tại thời điểm t.

4. Các quy tắc tính đạo hàm cơ bản

• Đạo hàm của hàm số lũy thừa: (xⁿ)' = nx^n-1
• Đạo hàm của hàm số hằng: (c)' = 0
• Đạo hàm của tổng/hiệu: (u ± v)' = u' ± v'
• Đạo hàm của tích: (uv)' = u'v + uv'
• Đạo hàm của thương: (u/v)' = (u'v - uv') / v²

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x - 1

Giải:

f'(x) = (3x²)' + (2x)' - (1)' = 6x + 2 - 0 = 6x + 2

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số g(x) = (x² + 1) / (x - 1)

Giải:

g'(x) = [(x² + 1)'(x - 1) - (x² + 1)(x - 1)'] / (x - 1)² = [2x(x - 1) - (x² + 1)] / (x - 1)² = (x² - 2x - 1) / (x - 1)²

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về đạo hàm, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Montoan.com.vn cung cấp đầy đủ các bài tập trong SGK Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo, cùng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải.

7. Kết luận

Bài 1. Đạo hàm là bước khởi đầu quan trọng trong việc học về đạo hàm hàm số. Việc hiểu rõ khái niệm, ý nghĩa và các quy tắc tính đạo hàm cơ bản sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai. Chúc bạn học tập tốt!