Bài 1 trang 41 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Bài 1 trang 41 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 1 trang 41 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo. Bài học này thuộc chương trình Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp lời giải bài tập Toán 11 đầy đủ, chính xác, giúp các em hiểu rõ kiến thức và tự tin làm bài tập.
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:
Đề bài
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = - {x^2}\);
b) \(f\left( x \right) = {x^3} - 2x\);
c) \(f\left( x \right) = \frac{4}{x}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính giới hạn \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
Lời giải chi tiết
a) Với bất kì \({x_0} \in \mathbb{R}\), ta có:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( { - {x^2}} \right) - \left( { - x_0^2} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - \left( {{x^2} - x_0^2} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - \left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( { - x - {x_0}} \right) = - {x_0} - {x_0} = - 2{{\rm{x}}_0}\)
Vậy \(f'\left( x \right) = {\left( { - {x^2}} \right)^\prime } = - 2x\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Với bất kì \({x_0} \in \mathbb{R}\), ta có:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {{x^3} - 2{\rm{x}}} \right) - \left( {x_0^3 - 2{{\rm{x}}_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^3} - 2{\rm{x}} - x_0^3 + 2{{\rm{x}}_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {{x^3} - x_0^3} \right) - 2\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x.{x_0} + x_0^2} \right) - 2\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x.{x_0} + x_0^2 - 2} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2} + x.{x_0} + x_0^2 - 2} \right) = x_0^2 + {x_0}.{x_0} + x_0^2 - 2 = 3{\rm{x}}_0^2 - 2\)
Vậy \(f'\left( x \right) = {\left( {{x^3} - 2{\rm{x}}} \right)^\prime } = 3{{\rm{x}}^2} - 2\) trên \(\mathbb{R}\).
c) Với bất kì \({x_0} \ne 0\), ta có:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{4}{x} - \frac{4}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{4{x_0} - 4x}}{{x{x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{4{x_0} - 4x}}{{x{x_0}\left( {x - {x_0}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 4\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x{x_0}\left( {x - {x_0}} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 4}}{{x{{\rm{x}}_0}}} = \frac{{ - 4}}{{{x_0}.{x_0}}} = - \frac{4}{{x_0^2}}\)
Vậy \(f'\left( x \right) = {\left( {\frac{4}{x}} \right)^\prime } = - \frac{4}{{{x^2}}}\) trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Bài 1 trang 41 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và hướng dẫn
Bài 1 trang 41 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị của hàm số. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:
Nội dung bài tập
Bài tập yêu cầu tìm cực trị của các hàm số sau:
- a) y = x3 - 3x2 + 2
- b) y = -x3 + 3x2 - 5
- c) y = x4 - 4x2 + 3
Hướng dẫn giải
Để tìm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:
- Tính đạo hàm bậc nhất y' của hàm số.
- Tìm các điểm mà y' = 0 hoặc y' không xác định.
- Lập bảng biến thiên của hàm số.
- Kết luận về cực trị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.
Giải chi tiết
a) y = x3 - 3x2 + 2
y' = 3x2 - 6x
y' = 0 ⇔ 3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Lập bảng biến thiên:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | ↗ | ↘ | ↗ |
Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = -2.
b) y = -x3 + 3x2 - 5
y' = -3x2 + 6x
y' = 0 ⇔ -3x2 + 6x = 0 ⇔ -3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Lập bảng biến thiên:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | - | + | - | |
| y | ↗ | ↘ | ↗ |
Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = -5 và đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = -1.
c) y = x4 - 4x2 + 3
y' = 4x3 - 8x
y' = 0 ⇔ 4x3 - 8x = 0 ⇔ 4x(x2 - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±√2
Lập bảng biến thiên:
| x | -∞ | -√2 | 0 | √2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| y' | - | + | - | + | |
| y | ↘ | ↗ | ↘ | ↗ |
Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại x = -√2, yCT = -1 và x = √2, yCT = -1. Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 3.
Lưu ý khi giải bài tập
- Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số.
- Sử dụng đạo hàm bậc hai để xác định tính chất của cực trị (cực đại hay cực tiểu).
- Vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra lại kết quả.
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về cách giải Bài 1 trang 41 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!
