THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết đạo hàm trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo tại montoan.com.vn. Đạo hàm là một khái niệm nền tảng quan trọng trong giải tích, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự thay đổi của hàm số.
Bài viết này sẽ cung cấp một cách hệ thống và dễ hiểu về các khái niệm, định nghĩa, công thức và ứng dụng của đạo hàm, giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
1. Đạo hàm Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).
1. Đạo hàm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f(x) tại điểm \({x_0}\), kí hiệu là \(f'\left( {{x_0}} \right)\) hoặc \(y'\left( {{x_0}} \right)\).
Vậy:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
Chú ý:
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Nếu hàm số này có đạo hàm tại mọi điểm \(x \in \left( {a;b} \right)\) thì ta nói nó có đạo hàm trên khoảng (a; b), kí hiệu y’ hoặc f’(x).
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), có đạo hàm tại \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).
a) Đại lượng \(\Delta x = x - {x_0}\) gọi là số gia của biến tại \({x_0}\). Đại lượng \(y = f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)\) gọi là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó, \(x = {x_0} + \Delta x\) và
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\).
b) Tỉ số \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của đại lượng y theo đại lượng x trong khoảng từ \({x_0}\) đến \({x_0} + \Delta x\); còn \(f'\left( {{x_0}} \right)\) biểu thị tốc độ thay đổi (tức thời) của đại lượng y theo đại lượng x tại điểm \({x_0}\).
2. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
- Nếu hàm số s = f(t) biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian t thì \(f'\left( {{t_0}} \right)\) biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm \({t_0}\).
- Nếu hàm số T = f(t) biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì \(f'\left( {{t_0}} \right)\) biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm \({t_0}\).
3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) là hệ số góc của tiếp tuyến \({M_0}T\) với đồ thị (C) của hàm số tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\).
Tiếp tuyến \({M_0}T\) có phương trình là \(y - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\).
Đạo hàm là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 11, đặc biệt là trong chương trình Chân trời sáng tạo. Nó đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến sự thay đổi của hàm số, tốc độ biến thiên và tối ưu hóa.
Đạo hàm của một hàm số f(x) tại một điểm x0, ký hiệu là f'(x0), biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm đó. Về mặt hình học, đạo hàm là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x0.
Công thức tính đạo hàm theo định nghĩa:
f'(x0) = limΔx→0 [f(x0 + Δx) - f(x0)] / Δx
Để tính đạo hàm một cách nhanh chóng và hiệu quả, chúng ta sử dụng các quy tắc sau:
Dưới đây là đạo hàm của một số hàm số cơ bản thường gặp:
| Hàm số f(x) | Đạo hàm f'(x) |
|---|---|
| C (hằng số) | 0 |
| x | 1 |
| xn | nxn-1 |
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | -sin(x) |
| ex | ex |
| ln(x) | 1/x |
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác:
Để củng cố kiến thức về đạo hàm, hãy thử giải các bài tập sau:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và đầy đủ về lý thuyết đạo hàm trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
