THCS
THCS
Bài 6 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến phép biến hóa affine. Bài tập này giúp học sinh củng cố kiến thức về phép biến hóa affine, các tính chất của nó và ứng dụng trong giải toán hình học.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 6 trang 79, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là \(f > 0\) không đổi. Gọi \(d\) và \(d'\) lần lượt là khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm \(O\) của thấu kính (Hình 5). Ta có công thức:
Đề bài
Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là \(f > 0\) không đổi. Gọi \(d\) và \(d'\) lần lượt là khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm \(O\) của thấu kính (Hình 5). Ta có công thức: \(\frac{1}{d} + \frac{1}{{d'}} = \frac{1}{f}\) hay \(d' = \frac{{df}}{{d - f}}\).
Xét hàm số \(g\left( d \right) = \frac{{df}}{{d - f}}\). Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa.
a) \(\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} g\left( d \right)\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{d \to + \infty } g\left( d \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Bước 1: Đưa hàm số \(f\left( x \right)\) về tích của hai hàm số, trong đó một hàm số có giới hạn hữu hạn, còn một hàm số có giới hạn vô cực.
Bước 2: Áp dụng quy tắc xét dấu để tính giới hạn của tích.
b) Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu.
Bước 2: Tính các giới hạn của tử và mẫu rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn để tính giới hạn.
Lời giải chi tiết
a) \(\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} g\left( d \right) = \mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \frac{{df}}{{d - f}} = \mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \left( {df} \right).\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \frac{1}{{d - f}}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \left( {df} \right) = f\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} d = {f^2};\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \frac{1}{{d - f}} = + \infty \)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} g\left( d \right) = \mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \frac{{df}}{{d - f}} = + \infty \)
Ý nghĩa: Khi vật dần đến tiêu điểm từ phía xa thấu kính đến gần thấu kính thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính dần đến \( + \infty \).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{d \to + \infty } g\left( d \right) = \mathop {\lim }\limits_{d \to + \infty } \frac{{df}}{{d - f}} = \mathop {\lim }\limits_{d \to + \infty } \frac{{df}}{{d\left( {1 - \frac{f}{d}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{d \to + \infty } \frac{f}{{1 - \frac{f}{d}}} = \frac{f}{{1 - 0}} = f\)
Ý nghĩa: Khi khoảng cách từ vật đến thấu kính càng xa thì ảnh tiến dần đến tiêu điểm của ảnh \(\left( {F'} \right)\).
Bài 6 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về phép biến hóa affine. Dưới đây là giải chi tiết bài tập này, cùng với hướng dẫn từng bước để bạn có thể tự giải và hiểu rõ hơn về phương pháp.
Bài tập yêu cầu tìm ảnh của một điểm hoặc một tập hợp điểm qua phép biến hóa affine cho trước. Để giải bài tập này, bạn cần hiểu rõ định nghĩa của phép biến hóa affine, các tính chất của nó và cách biểu diễn phép biến hóa affine bằng ma trận.
Ví dụ 1: Cho điểm M(2, -1) và phép biến hóa affine f(x, y) = (x + y, 2x - y). Tìm ảnh M' của điểm M qua phép biến hóa f.
Giải:
Vậy M'(1, 5).
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x + y - 1 = 0 và phép biến hóa affine f(x, y) = (x - y, x + y). Tìm ảnh d' của đường thẳng d qua phép biến hóa f.
Giải:
Đặt x' = x - y và y' = x + y. Từ đó, ta có x = (x' + y')/2 và y = (y' - x')/2. Thay vào phương trình đường thẳng d, ta được:
(x' + y')/2 + (y' - x')/2 - 1 = 0
Suy ra 2y' - 2 = 0, hay y' = 1.
Vậy d': y = 1.
Phép biến hóa affine có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, như:
Để củng cố kiến thức về phép biến hóa affine, bạn có thể làm thêm các bài tập sau:
Hy vọng với giải chi tiết và hướng dẫn trên, bạn đã hiểu rõ hơn về Bài 6 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
