Lý thuyết Khoảng cách trong không gian - Toán 11 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Khoảng cách trong không gian - Toán 11 Chân trời sáng tạo

Trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo, phần Hình học không gian đóng vai trò quan trọng, và việc nắm vững lý thuyết về khoảng cách là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về lý thuyết khoảng cách trong không gian, bao gồm các định nghĩa, công thức và ví dụ minh họa.

1. Khoảng cách giữa hai điểm

Cho hai điểm A(x_A, y_A, z_A) và B(x_B, y_B, z_B) trong không gian Oxyz. Khoảng cách giữa hai điểm A và B được tính theo công thức:

AB = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)²)

Công thức này là một ứng dụng trực tiếp của định lý Pythagoras trong không gian ba chiều.

2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm M(x₀, y₀, z₀) và đường thẳng Δ có phương trình:

Δ: { x = x₀ + at; y = y₀ + bt; z = z₀ + ct }

Khoảng cách d từ điểm M đến đường thẳng Δ được tính theo công thức:

d = |[ (x₀ - x₁)b - (y₀ - y₁)a ]| / √(a² + b² + c²)

Trong đó, (x₁, y₁, z₁) là một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng Δ.

3. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm M(x₀, y₀, z₀) và mặt phẳng (P) có phương trình:

(P): Ax + By + Cz + D = 0

Khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng (P) được tính theo công thức:

d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

Công thức này được suy ra từ việc sử dụng hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

4. Ứng dụng của lý thuyết khoảng cách

Lý thuyết khoảng cách trong không gian có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Xác định vị trí tương đối giữa các đối tượng trong không gian.
• Tính toán khoảng cách giữa các điểm, đường thẳng và mặt phẳng.
• Giải quyết các bài toán về tối ưu hóa trong không gian.
• Ứng dụng trong các lĩnh vực như hàng không, kiến trúc, và kỹ thuật.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6).

Giải:

AB = √((4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²) = √(3² + 3² + 3²) = √27 = 3√3

Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm M(0, 0, 0) đến đường thẳng Δ: x = 1 + t; y = 2 + t; z = 3 + t.

Giải:

Chọn điểm A(1, 2, 3) thuộc Δ. Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, ta có:

d = |(0 - 1) * 1 - (0 - 2) * 1| / √(1² + 1² + 1²) = | -1 + 2 | / √3 = 1 / √3 = √3 / 3

Ví dụ 3: Tính khoảng cách từ điểm M(1, 2, 3) đến mặt phẳng (P): 2x + y - z + 1 = 0.

Giải:

d = |2 * 1 + 1 * 2 - 1 * 3 + 1| / √(2² + 1² + (-1)²) = |2 + 2 - 3 + 1| / √6 = 2 / √6 = √6 / 3

6. Lời khuyên khi học lý thuyết khoảng cách

1. Nắm vững các định nghĩa và công thức cơ bản.
2. Luyện tập nhiều bài tập để hiểu rõ cách áp dụng công thức.
3. Sử dụng hình vẽ để minh họa và trực quan hóa các khái niệm.
4. Kết hợp lý thuyết với các bài toán thực tế để tăng cường khả năng giải quyết vấn đề.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về Lý thuyết Khoảng cách trong không gian - Toán 11 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!