Giải mục 4 trang 22, 23 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Giải mục 4 trang 22, 23 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 4 trang 22, 23 sách giáo khoa Toán 11 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức, hiểu rõ phương pháp giải bài tập và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những nội dung chất lượng, chính xác và cập nhật nhất để hỗ trợ tối đa cho học sinh trong việc học toán.
Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho hai góc lượng giác (alpha = frac{{alpha + beta }}{2},beta = frac{{alpha - beta }}{2}) ta được đẳng thức nào?
Hoạt động 4
Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho hai góc lượng giác \(\alpha = \frac{{\alpha + \beta }}{2},\beta = \frac{{\alpha - \beta }}{2}\) ta được đẳng thức nào?
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức:
\(\begin{array}{l}\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\\\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right]\\\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\cos \alpha \cos \beta = \cos \frac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha - \beta }}{2}\\ = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} + \frac{{\alpha - \beta }}{2}} \right) + \cos \left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} - \frac{{\alpha - \beta }}{2}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left( {\cos \alpha + \cos \beta } \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\sin \alpha \sin \beta = \sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}\sin \frac{{\alpha - \beta }}{2}\\ = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} - \frac{{\alpha - \beta }}{2}} \right) - \cos \left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} + \frac{{\alpha - \beta }}{2}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left( {\cos \beta - \cos \alpha } \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\sin \alpha \cos \beta = \sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha - \beta }}{2}\\ = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} + \frac{{\alpha - \beta }}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} - \frac{{\alpha - \beta }}{2}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left( {\sin \alpha + \sin \beta } \right)\end{array}\)
Thực hành 4
Tính \(\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + \cos \frac{\pi }{{12}}\).
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức:
\(\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + \cos \frac{\pi }{{12}} = 2\cos \frac{{\frac{{7\pi }}{{12}} + \frac{\pi }{{12}}}}{2}\cos \frac{{\frac{{7\pi }}{{12}} - \frac{\pi }{{12}}}}{2}\\ = 2.\frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}\).
Vận dụng
Trong bài toán khởi động, cho biết vòm cổng rộng 120 cm và khoảng cách từ B đến đường kính AH là 27 cm. Tính \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \), từ đó tính khoảng cách từ điểm C đến đường kính AH. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
Phương pháp giải:
Quan sát hình vẽ để trả lời.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(OA = OB = 120:2 = 60\).
Xét tam giác OBB’ có:
\(\sin \widehat {BOB'} = \frac{{BB'}}{{OB}} = \frac{{27}}{{60}} = \frac{9}{{20}}\).
Ta có: \(\widehat {AOC} = 2\widehat {BOB'}\).
Xét tam giác OCC’ vuông tại C’ có:
\(\begin{array}{l}\sin \widehat {COC'} = \frac{{CC'}}{{OC}}\\ \Leftrightarrow CC' = OC.\sin \widehat {COC'} = OC.\sin \left( {2\widehat {BOB'}} \right)\end{array}\).
Mà \(\sin \left( {2\widehat {BOB'}} \right) = 2.\sin \widehat {BOB'}.cos\widehat {BOB'}\).
\( = 2.\frac{9}{{20}}.\frac{{\sqrt {319} }}{{20}} = \frac{{9\sqrt {319} }}{{400}}\).
Vậy khoảng cách từ C đến AH là \(60.\frac{{9\sqrt {319} }}{{200}} \approx 48,2cm\).
Giải mục 4 trang 22, 23 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan
Mục 4 trong SGK Toán 11 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng trong giải tích, giúp học sinh hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số khi biến số tiến tới một giá trị nhất định. Việc nắm vững kiến thức về giới hạn hàm số là bước đệm quan trọng để học sinh tiếp cận các khái niệm phức tạp hơn như đạo hàm và tích phân.
Nội dung chính của mục 4
Mục 4 bao gồm các nội dung chính sau:
- Khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm: Định nghĩa giới hạn, ý nghĩa của giới hạn, cách kiểm tra sự tồn tại của giới hạn.
- Giới hạn một bên: Giới hạn bên trái, giới hạn bên phải, điều kiện để giới hạn tồn tại.
- Các tính chất của giới hạn: Tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn.
- Các dạng giới hạn thường gặp: Giới hạn của các hàm đa thức, hàm hữu tỉ, hàm lượng giác.
Giải chi tiết bài tập trang 22, 23
Dưới đây là lời giải chi tiết cho các bài tập trong mục 4 trang 22, 23 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo:
Bài 1: Tính các giới hạn sau
- lim (x→2) (x^2 + 3x - 1)
- lim (x→-1) (2x^3 - 5x + 2)
- lim (x→0) (x^2 + 1) / (x - 1)
Giải:
- lim (x→2) (x^2 + 3x - 1) = 2^2 + 3*2 - 1 = 4 + 6 - 1 = 9
- lim (x→-1) (2x^3 - 5x + 2) = 2*(-1)^3 - 5*(-1) + 2 = -2 + 5 + 2 = 5
- lim (x→0) (x^2 + 1) / (x - 1) = (0^2 + 1) / (0 - 1) = 1 / -1 = -1
Bài 2: Tính các giới hạn sau
- lim (x→3) (x - 3) / (x^2 - 9)
- lim (x→1) (x^2 - 1) / (x - 1)
Giải:
- lim (x→3) (x - 3) / (x^2 - 9) = lim (x→3) (x - 3) / ((x - 3)(x + 3)) = lim (x→3) 1 / (x + 3) = 1 / (3 + 3) = 1/6
- lim (x→1) (x^2 - 1) / (x - 1) = lim (x→1) (x - 1)(x + 1) / (x - 1) = lim (x→1) (x + 1) = 1 + 1 = 2
Ứng dụng của giới hạn hàm số
Giới hạn hàm số có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác:
- Tính đạo hàm: Đạo hàm của hàm số được định nghĩa dựa trên khái niệm giới hạn.
- Tính tích phân: Tích phân của hàm số cũng được định nghĩa dựa trên khái niệm giới hạn.
- Nghiên cứu sự liên tục của hàm số: Giới hạn hàm số giúp xác định xem một hàm số có liên tục tại một điểm hay không.
- Giải các bài toán thực tế: Giới hạn hàm số được sử dụng để mô tả và giải quyết các bài toán liên quan đến tốc độ, gia tốc, và các đại lượng thay đổi liên tục.
Lời khuyên khi học về giới hạn hàm số
Để học tốt về giới hạn hàm số, bạn nên:
- Nắm vững định nghĩa và các tính chất của giới hạn.
- Luyện tập giải nhiều bài tập để làm quen với các dạng bài khác nhau.
- Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm toán học để kiểm tra kết quả.
- Tìm hiểu các ứng dụng thực tế của giới hạn hàm số để tăng hứng thú học tập.
Montoan.com.vn hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về mục 4 trang 22, 23 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
