Bài 3 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 3 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Bài học này thuộc chương trình đại số lớp 11, tập trung vào các kiến thức về hàm số và đồ thị hàm số.

montoan.com.vn cung cấp lời giải bài tập Toán 11 chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\). Phát biểu nào sau đây đúng?

Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\). Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng và bị chặn.

B. Dãy số giảm và bị chặn.

C. Dãy số giảm và bị chặn dưới.

D. Dãy số giảm và bị chặn trên.

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 3 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo 1

• Xét tính tăng giảm của dãy số:

Bước 1: Tìm \({u_{n + 1}}\).

Bước 2: Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\).

Bước 3: Kết luận:

– Nếu \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0\) thì \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

– Nếu \({u_{n + 1}} - {u_n} < 0\) thì \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

• Xét tính bị chặn của dãy số ta sử dụng tính chất của bất đẳng thức.

Lời giải chi tiết

• Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) + 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 2}} = \frac{{n + 1 + 1}}{{n + 1 + 2}} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}}\)

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}} - \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{{{\left( {n + 2} \right)}^2} - \left( {n + 1} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{\left( {{n^2} + 4n + 4} \right) - \left( {{n^2} + n + 3n + 3} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{{n^2} + 4n + 4 - {n^2} - n - 3n - 3}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

• Ta có: \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{\left( {n + 2} \right) - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}}\)

\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:

\(n + 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 2}} > 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1 \Leftrightarrow {u_n} < 1\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.

\(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 2 \ge 1 + 2 \Leftrightarrow n + 2 \ge 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 2}} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{n + 2}} \ge 1 - \frac{1}{3} \Leftrightarrow {u_n} \ge \frac{2}{3}\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

Chọn A.

Bạn đang khám phá nội dung Bài 3 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo trong chuyên mục Sách giáo khoa Toán 11 trên nền tảng đề thi toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập toán trung học phổ thông này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 11 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho các kỳ thi quan trọng và chương trình đại học.

Đóng góp tài liệu?

Chia sẻ kiến thức cùng cộng đồng MonToan.com.vn

Facebook Gửi Email

Thông tin mở rộng

Bài 3 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 3 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số bậc hai để xác định các yếu tố của parabol và vẽ đồ thị hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản như:

Hàm số bậc hai: Dạng tổng quát của hàm số bậc hai là y = ax² + bx + c (a ≠ 0).
Đỉnh của parabol: Tọa độ đỉnh của parabol là I(x₀; y₀), với x₀ = -b/2a và y₀ = f(x₀).
Trục đối xứng của parabol: Đường thẳng x = x₀ là trục đối xứng của parabol.
Điểm thuộc parabol: Một điểm M(x; y) thuộc parabol nếu y = ax² + bx + c.

Hướng dẫn giải Bài 3 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Để giải Bài 3 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo, chúng ta thực hiện theo các bước sau:

Xác định các hệ số a, b, c của hàm số bậc hai.
Tính tọa độ đỉnh I(x₀; y₀) của parabol.
Xác định trục đối xứng của parabol.
Tìm một vài điểm thuộc parabol để vẽ đồ thị.
Vẽ đồ thị hàm số trên hệ trục tọa độ.

Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = x² - 4x + 3. Ta có a = 1, b = -4, c = 3.

Tọa độ đỉnh của parabol là:

x₀ = -b/2a = -(-4)/(2*1) = 2
y₀ = f(2) = 2² - 4*2 + 3 = -1

Vậy đỉnh của parabol là I(2; -1).

Trục đối xứng của parabol là đường thẳng x = 2.

Để vẽ đồ thị, ta tìm thêm một vài điểm thuộc parabol, ví dụ:

x	y
0	3
1	0
3	0
4	3

Vẽ đồ thị hàm số y = x² - 4x + 3 trên hệ trục tọa độ, ta được một parabol có đỉnh I(2; -1) và trục đối xứng x = 2.

Lưu ý quan trọng

Khi vẽ đồ thị hàm số bậc hai, cần chú ý đến dấu của hệ số a để xác định chiều của parabol (lõm lên hay lõm xuống). Nếu a > 0 thì parabol lõm lên, nếu a < 0 thì parabol lõm xuống.

Ngoài ra, cần kiểm tra lại các bước tính toán để đảm bảo tính chính xác của kết quả.

Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về hàm số bậc hai và đồ thị hàm số, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Bài 4 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 5 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11

montoan.com.vn hy vọng rằng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, các em sẽ hiểu rõ hơn về Bài 3 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo và tự tin giải các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!

Bài viết cùng chủ đề

Kho tài liệu Toán 11

Tổng hợp đề thi, chuyên đề và đáp án chi tiết

Tài liệu mới cập nhật