Bài 2 trang 84 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 2 trang 84 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 2 trang 84 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Bài học này thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan đến phép biến hóa lượng giác.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải dễ hiểu, chi tiết, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự. Hãy cùng chúng tôi khám phá lời giải ngay sau đây!
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}}&{khi\,\,x \ne - 2}\\a&{khi\,\,x = - 2}\end{array}} \right.\).
Đề bài
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}}&{khi\,\,x \ne - 2}\\a&{khi\,\,x = - 2}\end{array}} \right.\).
Tìm \(a\) để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định.
Bước 2: Tính \(f\left( {{x_0}} \right)\).
Bước 3: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\).
Bước 4: Giải phương trình \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\) để tìm \(a\).
Lời giải chi tiết
Trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\), \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
Ta có: \(f\left( { - 2} \right) = a\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x - 2} \right) = - 2 - 2 = - 4\)
Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) phải liên tục tại điểm \({x_0} = - 2\). Khi đó:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) \Leftrightarrow a = - 4\).
Vậy với \(a = - 4\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Bài 2 trang 84 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và hướng dẫn
Bài 2 trang 84 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về phép biến hóa lượng giác để giải quyết các bài toán cụ thể. Để hiểu rõ hơn về cách tiếp cận và giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích từng bước.
Nội dung bài toán
Bài toán thường yêu cầu chứng minh một đẳng thức lượng giác hoặc tìm giá trị của một biểu thức lượng giác dựa trên các công thức đã học. Việc nắm vững các công thức biến đổi lượng giác là yếu tố then chốt để giải quyết bài toán một cách hiệu quả.
Phương pháp giải
- Xác định các công thức lượng giác cần sử dụng: Dựa vào cấu trúc của bài toán, xác định các công thức lượng giác phù hợp để biến đổi biểu thức.
- Biến đổi biểu thức: Sử dụng các công thức lượng giác đã chọn để biến đổi biểu thức về dạng đơn giản hơn hoặc về một dạng quen thuộc.
- Chứng minh hoặc tính toán: Sau khi biến đổi, chứng minh đẳng thức hoặc tính toán giá trị của biểu thức.
- Kiểm tra lại kết quả: Đảm bảo rằng kết quả cuối cùng là chính xác và phù hợp với điều kiện của bài toán.
Ví dụ minh họa
Giả sử bài toán yêu cầu chứng minh đẳng thức: sin2x + cos2x = 1
Chúng ta có thể sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông để chứng minh đẳng thức này. Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Áp dụng định lý này vào lượng giác, ta có:
sin x = đối / huyền
cos x = kề / huyền
Do đó, sin2x + cos2x = (đối2 + kề2) / huyền2 = huyền2 / huyền2 = 1
Vậy, đẳng thức sin2x + cos2x = 1 được chứng minh.
Các dạng bài tập thường gặp
- Chứng minh đẳng thức lượng giác: Đây là dạng bài tập phổ biến, yêu cầu học sinh vận dụng các công thức biến đổi lượng giác để chứng minh một đẳng thức cho trước.
- Tìm giá trị của biểu thức lượng giác: Dạng bài tập này yêu cầu học sinh tính toán giá trị của một biểu thức lượng giác dựa trên các thông tin đã cho.
- Giải phương trình lượng giác: Học sinh cần sử dụng các công thức lượng giác và các phương pháp giải phương trình để tìm nghiệm của phương trình lượng giác.
Mẹo giải bài tập hiệu quả
- Nắm vững các công thức lượng giác: Đây là yếu tố cơ bản để giải quyết các bài toán về lượng giác.
- Luyện tập thường xuyên: Giải nhiều bài tập khác nhau sẽ giúp học sinh làm quen với các dạng bài tập và rèn luyện kỹ năng giải toán.
- Sử dụng sơ đồ Venn: Sơ đồ Venn có thể giúp học sinh hình dung rõ hơn về mối quan hệ giữa các công thức lượng giác.
- Kiểm tra lại kết quả: Luôn kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Ứng dụng của phép biến hóa lượng giác
Phép biến hóa lượng giác có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm:
- Vật lý: Tính toán các đại lượng liên quan đến dao động điều hòa, sóng ánh sáng, và các hiện tượng vật lý khác.
- Kỹ thuật: Thiết kế và phân tích các hệ thống cơ khí, điện tử, và các công trình xây dựng.
- Tin học: Xử lý tín hiệu, nén dữ liệu, và các ứng dụng khác.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em học sinh đã hiểu rõ hơn về Bài 2 trang 84 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
