Bài 7 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 7 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về phép biến hóa affine để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này yêu cầu học sinh hiểu rõ định nghĩa, tính chất của phép biến hóa affine và cách xác định ma trận của phép biến hóa affine.

Nội dung bài tập

Bài 7 yêu cầu học sinh thực hiện các nhiệm vụ sau:

1. Xác định phép biến hóa affine f: R² → R² biết f(1; 0) = (2; 1) và f(0; 1) = (1; 2).
2. Tìm ảnh của điểm M(2; 3) qua phép biến hóa affine f.
3. Chứng minh rằng f là một phép biến hóa affine.

Lời giải chi tiết

Để giải bài tập này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định ma trận của phép biến hóa affine f

Phép biến hóa affine f có dạng f(x; y) = (ax + by + c; dx + ey + f). Từ các điều kiện f(1; 0) = (2; 1) và f(0; 1) = (1; 2), ta có hệ phương trình:

• a + c = 2
• d + f = 1
• b + e = 1
• c + f = 2

Giải hệ phương trình này, ta tìm được a, b, c, d, e, f. Ma trận của phép biến hóa affine f là:

A = [[a, b], [d, e]]

Bước 2: Tìm ảnh của điểm M(2; 3) qua phép biến hóa affine f

Để tìm ảnh của điểm M(2; 3) qua phép biến hóa affine f, ta thực hiện phép biến hóa f lên điểm M:

f(2; 3) = (a*2 + b*3 + c; d*2 + e*3 + f)

Thay các giá trị a, b, c, d, e, f đã tìm được ở bước 1, ta tính được tọa độ của điểm M'.

Bước 3: Chứng minh f là một phép biến hóa affine

Để chứng minh f là một phép biến hóa affine, ta cần chứng minh rằng f bảo toàn phép cộng và phép nhân với một số thực. Điều này có nghĩa là:

• f(M + N) = f(M) + f(N) với mọi điểm M, N trong R²
• f(kM) = kf(M) với mọi điểm M trong R² và mọi số thực k

Chứng minh các điều kiện này dựa trên định nghĩa của phép biến hóa affine và ma trận A đã tìm được.

Lưu ý quan trọng

Khi giải bài tập về phép biến hóa affine, cần nắm vững các khái niệm cơ bản như:

• Định nghĩa phép biến hóa affine
• Tính chất của phép biến hóa affine
• Cách xác định ma trận của phép biến hóa affine
• Cách áp dụng phép biến hóa affine để giải quyết các bài toán thực tế

Bài tập tương tự

Để củng cố kiến thức về phép biến hóa affine, bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:

• Bài 8 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
• Bài 9 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Kết luận

Bài 7 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ về phép biến hóa affine. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, bạn đã nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự. Chúc bạn học tập tốt!