Bài 7 trang 86 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 7 trang 86 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Giải pháp học tập hiệu quả
Chào mừng bạn đến với bài giải Bài 7 trang 86 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo trên website montoan.com.vn. Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng cao, hỗ trợ bạn trong quá trình chinh phục môn Toán.
Cho tam giác đều có cạnh bằng \(a\), gọi là tam giác \({H_1}\). Nối các trung điểm của \({H_1}\) để tạo thành tam giác \({H_2}\). Tiếp theo, nối các trung điểm của \({H_1}\), để tạo thành tam giác \({H_3}\) (Hình 1).
Đề bài
Cho tam giác đều có cạnh bằng \(a\), gọi là tam giác \({H_1}\). Nối các trung điểm của \({H_1}\) để tạo thành tam giác \({H_2}\). Tiếp theo, nối các trung điểm của \({H_1}\), để tạo thành tam giác \({H_3}\) (Hình 1). Cứ tiếp tục như vậy, nhận được dãy tam giác \({H_1},{H_2},{H_3},...\)
Tính tổng chu vi và tổng diện tích các tam giác của dãy.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1:Tìm cạnh của tam giác đều thứ \(n\) dựa vào cạnh của tam giác đều thứ \(n - 1\).
Bước 2: Tính chu vi và diện tích của tam giác đều thứ \(n\).
Bước 3: Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\):
\(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)
Lời giải chi tiết
Gọi \({u_n}\) là độ dài cạnh của tam giác đều thứ \(n\).
Ta có: \({u_1} = a;{u_2} = \frac{{{u_1}}}{2};{u_3} = \frac{{{u_2}}}{2};...\)
Từ đó ta thấy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = a\), công bội \(q = \frac{1}{2}\).
Vậy \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = a.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = \frac{a}{{{2^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)
Chu vi của tam giác đều thứ \(n\) là: \({p_n} = 3{u_n} = \frac{{3{\rm{a}}}}{{{2^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)
Tổng chu vi của các tam giác của dãy là:
\({P_n} = 3{\rm{a}} + \frac{{3{\rm{a}}}}{2} + \frac{{3{\rm{a}}}}{{{2^2}}} + ... + \frac{{3{\rm{a}}}}{{{2^{n - 1}}}} + ... = 3{\rm{a}}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ...} \right)\)
Tổng \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ...\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = \frac{1}{2}\).
Vậy \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ... = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2 \Rightarrow {P_n} = 3{\rm{a}}.2 = 6{\rm{a}}\).
Diện tích của hình vuông thứ \(n\) là:
\({s_n} = \frac{{u_n^2\sqrt 3 }}{4} = {\left( {\frac{a}{{{2^{n - 1}}}}} \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.{\left( {\frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right)^2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{1}{{{4^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)
Tổng diện tích của các tam giác của dãy là:
\({S_n} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{1}{4} + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{1}{{{4^{n - 1}}}} + ... = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\left( {1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^{n - 1}}}} + ...} \right)\)
Tổng \(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^{n - 1}}}} + ...\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = \frac{1}{4}\).
Vậy \(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^{n - 1}}}} + ... = \frac{1}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{4}{3} \Rightarrow {S_n} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{4}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}\)
Bài 7 trang 86 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Phân tích chi tiết và hướng dẫn giải
Bài 7 trang 86 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về phép biến hình affine để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này yêu cầu học sinh phải hiểu rõ định nghĩa, tính chất của phép biến hình affine và cách xác định ảnh của một điểm, một đường thẳng, một đường tròn qua phép biến hình affine.
Nội dung chính của Bài 7 trang 86
Bài 7 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
- Xác định phép biến hình affine dựa trên các thông tin cho trước.
- Tìm ảnh của một điểm, một đường thẳng, một đường tròn qua phép biến hình affine.
- Chứng minh một phép biến hình là phép biến hình affine.
- Vận dụng phép biến hình affine để giải quyết các bài toán hình học.
Hướng dẫn giải chi tiết
Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, bạn cần:
- Nắm vững định nghĩa và tính chất của phép biến hình affine.
- Hiểu rõ cách xác định ảnh của một điểm, một đường thẳng, một đường tròn qua phép biến hình affine.
- Sử dụng các công thức và định lý liên quan đến phép biến hình affine.
- Rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua việc làm nhiều bài tập khác nhau.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho điểm A(1; 2) và phép biến hình affine f(x; y) = (2x + y; x - y). Tìm ảnh A' của điểm A qua phép biến hình f.
Giải:
Áp dụng phép biến hình f cho điểm A(1; 2), ta có:
x' = 2(1) + 2 = 4
y' = 1 - 2 = -1
Vậy, A'(4; -1).
Các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải
Dạng 1: Xác định phép biến hình affine
Để xác định một phép biến hình affine, bạn cần tìm ma trận biểu diễn của phép biến hình đó. Ma trận này có thể được xác định dựa trên ảnh của các điểm đặc biệt, chẳng hạn như gốc tọa độ và các điểm nằm trên các trục tọa độ.
Dạng 2: Tìm ảnh của một điểm, một đường thẳng, một đường tròn
Để tìm ảnh của một điểm, bạn chỉ cần áp dụng phép biến hình affine cho tọa độ của điểm đó. Để tìm ảnh của một đường thẳng, bạn cần tìm ảnh của hai điểm bất kỳ trên đường thẳng đó. Để tìm ảnh của một đường tròn, bạn cần tìm ảnh của tâm và bán kính của đường tròn đó.
Lưu ý quan trọng
Khi giải các bài tập về phép biến hình affine, bạn cần chú ý đến các điều kiện để một phép biến hình là phép biến hình affine. Đồng thời, bạn cũng cần kiểm tra lại kết quả của mình để đảm bảo tính chính xác.
Bài tập luyện tập
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán, bạn có thể làm thêm các bài tập sau:
- Bài 1: Tìm ma trận biểu diễn của phép biến hình affine f(x; y) = (x + 2y; 3x - y).
- Bài 2: Cho điểm B(-1; 3) và phép biến hình affine g(x; y) = (x - y; 2x + y). Tìm ảnh B' của điểm B qua phép biến hình g.
- Bài 3: Chứng minh rằng phép biến hình h(x; y) = (x + 1; y - 2) là một phép biến hình affine.
Kết luận
Bài 7 trang 86 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng, giúp bạn hiểu rõ hơn về phép biến hình affine và cách vận dụng nó để giải quyết các bài toán hình học. Hy vọng rằng, với những hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, bạn sẽ tự tin giải quyết bài tập này một cách hiệu quả.
