Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc - Toán 11 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc - Toán 11 Chân trời sáng tạo

Trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo, kiến thức về hai đường thẳng vuông góc đóng vai trò quan trọng, là nền tảng cho việc hiểu và giải quyết các bài toán về hình học không gian. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết, các định lý, tính chất và ví dụ minh họa để giúp bạn nắm vững kiến thức này.

1. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi góc giữa chúng bằng 90 độ. Trong không gian, điều kiện để hai đường thẳng d và d' vuông góc được xác định thông qua tích vô hướng của hai vector chỉ phương của chúng. Cụ thể:

• Vector chỉ phương: Một vector song song với đường thẳng.
• Tích vô hướng: Cho hai vector a = (x₁, y₁, z₁) và b = (x₂, y₂, z₂), tích vô hướng của chúng là: a.b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂.

Nếu a.b = 0, thì hai vector a và b vuông góc, và do đó hai đường thẳng d và d' cũng vuông góc.

2. Tính chất của hai đường thẳng vuông góc

Khi hai đường thẳng vuông góc, chúng có những tính chất đặc biệt:

• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
• Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng: Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

3. Ứng dụng của lý thuyết hai đường thẳng vuông góc

Lý thuyết hai đường thẳng vuông góc có nhiều ứng dụng trong giải toán hình học không gian, đặc biệt là trong việc:

• Xác định góc giữa hai đường thẳng: Sử dụng tích vô hướng để tính góc giữa hai đường thẳng.
• Chứng minh tính vuông góc: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách chứng minh tích vô hướng của hai vector chỉ phương bằng 0.
• Giải các bài toán về khoảng cách: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, hoặc giữa hai đường thẳng.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và d': x = 2 - 2t', y = 1 + t', z = 4 - t'. Chứng minh rằng hai đường thẳng này vuông góc.

Giải:

Vector chỉ phương của d là a = (1, -1, 2). Vector chỉ phương của d' là b = (-2, 1, -1).

Tích vô hướng của a và b là: a.b = (1)(-2) + (-1)(1) + (2)(-1) = -2 - 1 - 2 = -5. Do đó, hai đường thẳng không vuông góc.

Ví dụ 2: Cho điểm A(1, 2, 3) và đường thẳng d: x = t, y = t + 1, z = t - 1. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên d.

(Giải thích chi tiết cách tìm điểm H, bao gồm việc sử dụng vector chỉ phương của d và vector AH để giải phương trình)

5. Bài tập luyện tập

1. Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình tham số như sau: d1: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và d2: x = 2 - 2t', y = 1 + t', z = 4 - t'. Tính góc giữa hai đường thẳng này.
2. Cho điểm A(2, 1, 0) và đường thẳng d: x = t, y = 1 + t, z = 2t. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên d.
3. Chứng minh rằng đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2t, z = 3 - t vuông góc với mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết về lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!